Вопросы для зачёта

Общие вопросы

1. Функция. Отображение.

2. Инъективность, сюръективность, биективность.

3. Композиция функций.

4. Определения групп и полей. Примеры

5. Определение линейного векторного пространства.

6. Примеры линейных векторных пространств.

7. Линейная зависимость и независимость векторов.

8. Понятие размерности линейного пространства.

9. Теорема о линейно независимых векторах.

10. Определение системы образующих, базиса и координат вектора.

11. Разложение произвольного вектора по базису.

12. Понятие подпространства. Критерий подпространства. Примеры.

13. Линейная оболочка векторов.

14. Замена базиса и преобразование координат.

15. Сумма и пересечение подпространств.

16. Прямая сумма подпространств.

17. Свойство размерностей суммы и пересечения подпространств.

18. Евклидово пространство.

19. Неравенство Коши-Буняковского.

20. Норма вектора, угол между векторами.

21. Теорема Пифагора.

22. Неравенство Минковского.

23. Расстояние между векторами.

24. Перпендикуляр из вектора на подпространство.Расстояние от вектора до подпространства. Проекция на подпространство.

25. Ортогональный и ортонормированный базисы.

26. Ортогонализация векторов.

27. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.

28. Ортогональные матрицы.

29. Ортогональное дополнение. Примеры.

30. Линейные операторы. Образы и прообразы векторов.

31. Примеры линейных операторов

32. Матрица линейного оператора.

33. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

34. Образ оператора.

35. Ядро оператора.

36. Размерности ядра и образа. Ранг и дефект оператора.

37. Действия над линейными операторами:

    1. Умножение оператора на число
    2. Сумма линейных операторов
    3. Произведение линейных операторов

38. Групповое свойство операторов.

39. Обратный оператор.

40. Аннулирующий многочлен.

41. Определение инвариантного подпространства.

42. Инвариантность ядра оператора. Инвариантность образа оператора.

43. Свойства инвариантных подпространств.

44. Собственные числа и собственные векторы оператора. Собственные подпространства.

45. Характеристический многочлен оператора.

46. Алгоритм поиска собственных чисел и векторов.

47. Представление матрицы оператора в диагональной форме.

48. Жорданов базис и жорданова форма матрицы.

49. Сопряжённый оператор.

50. Матрица сопряженного оператора:

    1. Леммы для матрицы сопряжённого оператора
    2. Теорема. Транспонированное сопряжение
    3. Теорема. Матрица Грама и сопряжённый оператор

51. Скалярное произведение в комплексном пространстве.

52. Самосопряженный оператор.

53. Свойства собственных значений самосопряженных операторов.

54. Инвариантность собственного подпространства. (Следует из определения)

55. Существование базиса, составленного из собственных векторов самосопряженного оператора.

56. Унитарные операторы

57. Свойства унитарного оператора:

    1. Теорема. Сохранение скалярного произведения унитарным оператором
    2. Теорема. Характеризация унитарного оператора
    3. Теорема. Нормосохраняющий оператор унитарен
    4. Теорема. Модуль собственного значения унитарного оператора
    5. Теорема. Инвариантность ортогонального дополнения собственного вектора

58. Существование ортогонального базиса из собственных векторов унитарного оператора

59. Ортогональные операторы и их свойства.

60. Билинейные формы.

61. Матрица билинейной формы. Теорема. Смена базиса для матрицы билинейной формы.

62. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы.

63. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов ортогональных преобразований

64. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Лагранжа

65. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Якоби

66. Закон инерции.

67. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

68. Кривые второго порядка.

69. Поверхности второго порядка.

70. Линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами.

71. Определитель Вронского и условие линейной независимости функций.

72. Матрица линейного дифференциального оператора.

73. Характеристический многочлен линейного дифференциального оператора.

74. Ядро линейного дифференциального оператора.

75. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.

76. Общее решение линейного неоднородного дифференциального оператора (теорема
    о сдвиге).

---

Теоретические факты (с доказательствами, на высокий балл)

1. Теоремы о линейно зависимых (независимых) векторах:

   • Теорема. Линейная зависимость векторов
   • Сохранение линейной зависимости векторов
   • Теорема. Единственность представления через векторы
   • Теорема. Ограниченность числа линейно независимых векторов

2. Теорема о разложении по базису. Теорема о дополнении до базиса.

3. Теорема. Критерий подпространства

4. Теорема о линейной оболочке

5. Теорема о матрице перехода

6. Теорема о подпространствах суммы и пересечения

7. Эквивалентность определений прямой суммы подпространств

8. Теоремы о размерностях суммы и пересечения подпространств:

   • Теорема. Размерность прямой суммы подпространств
   • Теорема. Размерность суммы двух подпространств

9. Неравенство Коши-Буняковского

10. Неравенство Минковского

11. Свойства перпендикуляра и проекции:

    • Теорема. Проекция вектора на подпространство
    • Теорема. Единственность проекции вектора на подпространство

12. Теорема о линейной независимости ортогональных векторов

13. Теорема. Скалярное произведение в ортонормированном базисе

14. Координаты в ортогональном базисе

15. Теорема об ортогональности линейной оболочки строк матрицы и пространства решений соответствующей ОСЛУ

16. Теорема о размерности образа подпространства

17. Теоремы о матрице оператора:

    • Теорема. Матрица линейного оператора в произвольном базисе
    • Теорема. Взаимно-однозначное соответствие «оператор-матрица» в фиксированном базисе
    • Теорема. Матрица линейного оператора в разных базисах

18. Теоремы о ядре и образе (подпространства, линейная оболочка столбцов матрицы)

19. Условие инъективности оператора

20. Свойство размерностей ядра и образа

21. Свойства суммы и произведения операторов:

    • Теорема. Линейность суммы и произведения операторов
    • Теорема. Наличие матрицы оператора у функций сложения и умножения

22. Теорема об аннулирующем многочлене

23. Матрица оператора пространства, имеющего инвариантное подпространство

24. Инвариантность характеристического многочлена

25. Линейная независимость векторов, отвечающих различным собственным числам

26. Диагонализация матрицы оператора:

    • Теорема. Собственные векторы и собственные числа из диагональной матрицы
    • Теорема Гамильтона — Кэли
    • Теорема. Критерий диагонализуемости матрицы оператора

27. Аннулирующее свойство характеристического многочлена

28. Теоремы о матрице сопряжённого оператора:

    • Теорема. Транспонированное сопряжение
    • Теорема. Матрица Грама и сопряжённый оператор

29. Теорема Фридгольма

30. Теорема о собственных значениях самосопряжённого оператора

31. Теоремы о собственных векторах самосопряжённого оператора:

    • Теорема. Ортонормированный базис собственных векторов
    • Теорема. Ортогональность собственных векторов

32. Теорема о матрицах билинейной формы

33. Закон инерции (тоже самое что и Теорема о числе отрицательных коэффициентов в квадратичной форме )

34. Теорема о диагональном виде квадратичной формы

35. Теорема Сильвестра

36. Свойства определителя Вронского (было дано только одно свойство и без доказательства, возможно на очной лекции были даны другие свойства)

37. Теорема. Частное решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами