Теорема. Вещественность собственных чисел самосопряжённого оператора

Теорема

Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны.

Доказательство

Пусть $\lambda$ — собственное число, $u$ — соответствующий ему собственный вектор оператора $A$, то есть

$$A(u)=\lambda u.$$

Тогда с одной стороны

$$(A(u),u)=(\lambda u,u)=\lambda (u,u),$$

а с другой стороны

$$(u,A(u))=(u,\lambda u)=\overline{\lambda }(u,u).$$

Поскольку Скалярное произведение в евклидовом пространстве удовлетворяет
$(A(u),u)=(u,A(u))$, получаем

$$(\lambda -\overline{\lambda })(u,u)=0.$$

По определению собственного вектора $(u,u)\ne 0$, поэтому

$$\lambda -\overline{\lambda }=0⟹\lambda =\overline{\lambda }\in \mathbb{R}.$$

Таким образом, все собственные числа самосопряжённого оператора вещественны.

линейныйоператор