4. Линейные операторы евклидова пространства

Сопряжённый оператор

Сопряжённый оператор

Def. Оператор $A^{\ast }$ называется сопряжённым к оператору $A$ евклидова пространства $L$, если для любых $x,y\in L$ выполнено ¹

$$(A(x),y)=(x,A^{\ast }(y)).$$

Замечание

Заметим, что в ортонормированном базисе скалярное произведение векторов $x$ и $y$ можно выразить как $(x,y)=x\cdot y^T$ (в этом блоке строки будем обозначать как $x$, а столбцы как $x^T$ ), т.е. как произведение координатной строки на координатный столбец.

линейныйоператор

Footnotes

1. $(A(x),y)$ и $(x,A^{\ast }(y))$ - Скалярные произведения ↩

Ссылка на оригинал

---

Леммы для матрицы сопряженного оператора

Леммы для матрицы сопряжённого оператора

Для исследования матрицы сопряжённого оператора докажем несколько лемм.

Лемма 1

Пусть матрица $A$ имеет размер $n\times n$.
Если $A{x}^T=\theta$ для любого столбца $x^T$ высоты $n$, то $A=\Theta$.

Доказательство
Иначе говоря, оператор $n$-мерного пространства $L$, соответствующий матрице $A$, обращает каждый вектор в нуль, в частности базисные векторы. Следовательно, его матрица нулевая.

Лемма 2

Пусть матрица $A$ имеет размер $n\times n$.
Если для любой строки $x$ длины $n$ и любого столбца $y^T$ высоты $n$ выполнено
$xA{y}^T=0$, то $A=\Theta$.

Доказательство
Так как $x$ и $y^T$ произвольны, можно взять $x=(A{y}^T{)}^T$. Тогда

$$(A{y}^T{)}^{T}A{y}^T=0.$$

В терминах скалярного произведения это скалярный квадрат; он равен 0
только если $A{y}^T=\theta$ для всех $y$, то есть $A=\Theta$.

Лемма 3

Пусть матрицы$A,B$ имеют размер $n\times n$.
Если для любой строки $x$ длины $n$ и любого столбца $y^T$ высоты $n$ выполнено
$xA{y}^T=xB{y}^T$, то $A=B$.

Доказательство
$xA{y}^T=xB{y}^T⟺x(A-B)y^T=0.$
По лемме 2 это возможно только при $A-B=\Theta$, т.е. $A=B$.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 1. Транспонированное сопряжение

Теорема. Транспонированное сопряжение

Теорема

Если $A$ и $A^{\ast }$ — матрицы линейного оператора и сопряжённого к нему в ортонормированном базисе, то ¹

$$A^{\ast }=A^T.$$

Доказательство

Пусть произвольные векторы $x,y\in L$ имеют координаты-столбцы $x^T,y^T$ в ортонормированном базисе.
По определению сопряжённого оператора

$$(A(x),y)=(x,A^{\ast }(y)).$$

В матричной форме это значит

$$(A{x}^T{)}^T{y}^T=x{A}^{\ast }{y}^T.$$

Но $(A{x}^T{)}^T=x{A}^T$, поэтому

$$x{A}^T{y}^T=x{A}^{\ast }{y}^T.$$

Так как это выполняется для любых $x$ и $y^T$, по лемме 3 получаем

$$A^T=A^{\ast }.$$

¹

линейныйоператор

Footnotes

1. $A^T$ - Транспонированная матрица ↩ ↩²

Ссылка на оригинал

---

Теорема 2. Матрица Грама и сопряжённый оператор

Теорема. Матрица Грама и сопряжённый оператор

Теорема

В произвольном базисе $f$ евклидова пространства $L$ матрицы сопряжённых операторов связаны соотношением

$$A^T\Gamma =\Gamma A^{\ast },$$

где $\Gamma$ — матрица Грама базиса $f$.
$A^T$ - Транспонированная матрица

(Без доказательства.)

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Свойства сопряжённых операторов.

Свойства сопряжённых операторов

Свойства сопряжённых операторов

1. $(A\circ B{)}^{\ast }=B^{\ast }\circ A^{\ast }$

2. $(A^{\ast }{)}^{\ast }=A$

3. $(A+B{)}^{\ast }=A^{\ast }+B^{\ast }$

4. $(\lambda A{)}^{\ast }=\lambda A^{\ast }$

5. ${\mathrm{Id}}^{\ast }=\mathrm{Id}$ ¹

Все свойства следуют непосредственно из соответствующих свойств матриц и определения сопряжённого оператора.

линейныйоператор

Footnotes

1. Тождественный оператор ↩

Ссылка на оригинал

---

Теорема 3. Фридгольма

Теорема Фридгольма

Теорема

Образ оператора $A$ и ядро сопряжённого оператора $A^{\ast }$ ортогональны, и

$$\mathrm{Im}A=(\mathrm{Ker}{A}^{\ast }{)}^{\perp }.$$

¹

Доказательство

Пусть $x\in \mathrm{Im}A$ и $y\in \mathrm{Ker}{A}^{\ast }$.
Тогда существует $z\in L$ такой, что $A(z)=x$, и

$$(x,y)=(A(z),y)=(z,A^{\ast }(y))=(z,0)=0.$$

Значит $\mathrm{Im}A\perp \mathrm{Ker}{A}^{\ast }$.

Выберем ортонормированные базисы
$\{e_1,\dots ,e_k\}$ для $\mathrm{Im}A$ и
$\{f_1,\dots ,f_m\}$ для $\mathrm{Ker}{A}^{\ast }$.
Поскольку ²

$$k=\dim \mathrm{Im}A=\mathrm{rank}A,m=\dim \mathrm{Ker}{A}^{\ast }=\dim L-\mathrm{rank}{A}^{\ast }=\dim L-\mathrm{rank}A,$$

то

$$\dim \mathrm{Im}A+\dim \mathrm{Ker}{A}^{\ast }=k+m=\dim L.$$

Отсюда и следует ¹

$$\mathrm{Im}A=(\mathrm{Ker}{A}^{\ast }{)}^{\perp }.$$

линейныйоператор

Footnotes

1. $(\mathrm{Ker}{A}^{\ast }{)}^{\perp }$ - Ортогональное дополнение подпространства $\mathrm{Ker}{A}^{\ast }$ ↩ ↩²

2. $\dim \mathrm{Im}A$ и $\dim \mathrm{Ker}{A}^{\ast }$ - Размерность образа и ядра соответственно ↩

Ссылка на оригинал

---

Евклидово пространство над полем комплексных чисел

Евклидово пространство над полем комплексных чисел

Напомним, что Евклидово пространство - Линейное пространство со скалярным произведением

• Def. Скалярным произведением в комплексном векторном пространстве $L$ называется Функция $\nu :L\times L⟶\mathbb{C}$такая, что для всех $a,b,c\in L$ и $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ выполнены свойства:
  1. Линейность: $$(a+b,c)=(a,c)+(b,c),(\alpha a,b)=\alpha (a,b),(a,\beta b)=\overline{\beta }(a,b).$$
  2. Эрмитова симметрия: $$(a,b)=\overline{(b,a)}.$$
  3. Положительная определённость: $$(a,a)>0\text{при }a\ne 0.$$

В ортонормированном базисе $\{e_i\}$ для $x={\sum }_{i=1}^n{x}_i{e}_i,y={\sum }_{i=1}^n{y}_i{e}_i$скалярное произведение имеет вид ¹ $(x,y)={\sum }_{i=1}^n{x}_i\overline{y_i}.$

Свойство

Для оператора $A$ в комплексном ортонормированном базисе имеем

$$(A(x),y)=(A{x}^T{)}^T\overline{y^T}=x^T{A}^T\overline{y^T},$$

и

$$(x,A^{\ast }(y))=x^T\overline{A^{\ast }}\overline{y^T}.$$

Из равенства

$$(A(x),y)=(x,A^{\ast }(y))$$

для всех $x,y$ по лемме 3 следует

$$A^{\ast }=\overline{A^T},$$

то есть матрица сопряжённого оператора — транспонированная и комплексно-сопряжённая.

Пример

В ортонормированном базисе для матриц сопряжённых операторов имеем:

$${\left(\begin{array}{cc}1-2i& 3\\ 2-3i& i\end{array}\right)}^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}1+2i& 2+3i\\ 3& -i\end{array}\right)$$

евклидовопространство

Footnotes

1. $\overline{y_i}$ - сопряженный вектор (сопряжение происходит по координатам) ↩

Ссылка на оригинал

---

Самосопряжённые операторы

Самосопряжённый оператор

Def. Линейный оператор $A$ евклидова пространства $L$ называется самосопряжённым, если $\forall x,y\in L$ выполнено условие: $(A(x),y)=(x,A(y))$т.е. сопряжённый оператор $A^{\ast }=A$

Замечание 1

Для матрицы самосопряжённого оператора линейного пространства над полем вещественных чисел в ортонормированном базисе выполнено: $A=A^T$ ¹, т.е. она симметрична.

Замечание 2

Для элементов матрицы самосопряжённого оператора над полем комплексных чисел в ортонормированном базисе выполнено другое свойство: $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$, т.е. симметричные элементы комплексно сопряжены. В частности это означает, что на диагонали будут находиться вещественные числа.

линейныйоператор

Footnotes

1. $A^T$ - Транспонированная матрица ↩

Ссылка на оригинал

---

Теорема 4. Вещественность собственных чисел самосопряжённого оператора

Теорема. Вещественность собственных чисел самосопряжённого оператора

Теорема

Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны.

Доказательство

Пусть $\lambda$ — собственное число, $u$ — соответствующий ему собственный вектор оператора $A$, то есть

$$A(u)=\lambda u.$$

Тогда с одной стороны

$$(A(u),u)=(\lambda u,u)=\lambda (u,u),$$

а с другой стороны

$$(u,A(u))=(u,\lambda u)=\overline{\lambda }(u,u).$$

Поскольку Скалярное произведение в евклидовом пространстве удовлетворяет
$(A(u),u)=(u,A(u))$, получаем

$$(\lambda -\overline{\lambda })(u,u)=0.$$

По определению собственного вектора $(u,u)\ne 0$, поэтому

$$\lambda -\overline{\lambda }=0⟹\lambda =\overline{\lambda }\in \mathbb{R}.$$

Таким образом, все собственные числа самосопряжённого оператора вещественны.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 5. Ортонормированный базис собственных векторов

Теорема. Ортонормированный базис собственных векторов

Теорема

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор $n$-мерного евклидова пространства $L$.
Тогда существуют $n$ попарно ортогональных собственных векторов.

Доказательство

По теореме Жордана у матрицы $A$ есть хотя бы одна Жорданова клетка, значит, существует собственный вектор $u_1$ с вещественным собственным числом ${\lambda }_1$:

$$A(u_1)={\lambda }_1{u}_1.$$

Рассмотрим Ортогональное дополнение линейной оболочки $<u_1>$

$$L_{u_1}^{\perp }=\{x\in L\mid (x,u_1)=0\}.$$

Его размерность равна $n-1$. Для любого $x\in L_{u_1}^{\perp }$ имеем

$$(A(x),u_1)=(x,A(u_1))=(x,{\lambda }_1{u}_1)={\lambda }_1(x,u_1)=0,$$

значит $A(x)\in L_{u_1}^{\perp }$ и $L_{u_1}^{\perp }$ инвариантно.

Сужение $A{|}_{L_{u_1}^{\perp }}$ остаётся самосопряжённым, поэтому в этом подпространстве найдётся собственный вектор $u_2\perp u_1$.
Повторяя рассуждение, получаем последовательность

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$$

и $n$ попарно ортогональных собственных векторов

$$u_1,u_2,\dots ,u_n.$$

Следствие

Для самосопряжённого оператора $A$ существует ортонормированный базис из собственных векторов, в котором матрица $A$ диагональна с вещественными собственными числами.

Замечание

Матрица перехода к этому ортонормированному базису является ортогональной.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 6. Ортогональность собственных векторов

Теорема. Ортогональность собственных векторов

Теорема

Собственные векторы, отвечающие различным собственным числам самосопряжённого оператора, ортогональны.

Доказательство

Пусть $A(u_1)={\lambda }_1{u}_1$ и $A(u_2)={\lambda }_2{u}_2$, где ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$.

$${\lambda }_1(u_1,u_2)=({\lambda }_1{u}_1,u_2)=(A(u_1),u_2)=(u_1,A(u_2))=(u_1,{\lambda }_2{u}_2)={\lambda }_2(u_1,u_2),$$

( ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ вещественные, поэтому комплексное сопряжение не учитываем).

$$({\lambda }_1-{\lambda }_2)(u_1,u_2)=0.$$

Поскольку ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$, получаем $(u_1,u_2)=0$, то есть $u_1\perp u_2$.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 7. Ортогональность образа и ядра самосопряжённого оператора

Теорема. Ортогональность образа и ядра самосопряжённого оператора

Теорема

Образ и ядро самосопряженного оператора ортогональны.

Следует из теоремы Фридгольма.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

По итогам лекции нужно знать:

1. Понятия:

   • Сопряжённый оператор
   • Самосопряжённый оператор
   • Скалярное произведение комплексного пространства

2. Матрица самосопряжённого оператора:

   • Леммы
   • Теорема первая, вторая, третья

3. Свойства сопряжённых операторов

4. Связь образа оператора и ядра самосопряжённого оператора

5. Матрица сопряжённого оператора в вещественном и комплексном пространствах

6. Основные теоретические факты с доказательствами

линейныйоператор