Основные числовые множества

Множество натуральных чисел

Множество натуральных чисел ( $\mathbf{N}$ ) используется при естественном счёте.

$$\mathbf{N}=\{1,2,3,\dots \}$$

Отсутствие нуля

Каноническое множество натуральных чисел не содержит $0$.
Для натурального множества с $0$ принято использовать обозначение $N_0$

Множество целых чисел

Множество натуральных чисел дополняется до множества целых чисел $(\mathbf{Z})$ при помощи нуля и отрицательных чисел.

$$\mathbf{Z}=\{\dots -2,-1,0,1,2,3,\dots \}$$

Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел $(\mathbf{Q})$ – все возможные дроби вида $\frac{p}{q}$, где $p$ – целое число, $q$ – натуральное.

Примеры рациональных чисел: $\frac{5}{4},\frac{1}{2},\frac{2}{2},-\frac{3}{3},\frac{0}{5}$ и так далее

Подмножества рациональных чисел

Множество натуральных и целых чисел являются подмножеством множества рациональных чисел

Множество иррациональных чисел

Множество иррациональных чисел $(\mathbf{I})$ – все числа которые нельзя представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ – целое число, $q$ – натуральное.

Примеры иррациональных чисел: $\sqrt{2},e,\pi$ и так далее

Уникальность множества иррациональных чисел

Из определения следует, что множество иррациональных чисел не содержит в себе элементы из множества натуральных, целых и рациональных чисел.

Множество вещественных (действительных) чисел

Множество вещественных чисел $(\mathbf{R})$ – множество которое содержит в себе натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа.

$$\mathbf{R}=\mathbf{I}\cup \mathbf{Q}$$

$\cup$ – операция объединения множеств

Множество комплексных чисел

Множество комплексных чисел $(\mathbf{С})$ – множество в котором все элементы это пары чисел вида $z=(x,y)$, где $x,y\in \mathbf{R}$.
Такие числа называются комплексными

Связь числовых множеств

Все эти множества (за исключением множества иррациональных чисел) связаны тем, что они являются подмножествами друг друга

$$\mathbf{N}\subseteq \mathbf{Z}\subseteq \mathbf{Q}\subseteq \mathbf{R}\subseteq \mathbf{C}$$