Теорема. Делители свободного члена

Теорема

Каждый целый корень многочлена $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$ с целыми коэффициентами является делителем свободного члена $a_0$.

Доказательство

Пусть $p\in \mathbf{Z}$ - корень $f(x)$. Подставим его в уравнение многочлена:
$0=f(p)=a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}+\dots +a_{1}p+a_0$

или
$a_0=-p\left(a_1+p{a}_2+\dots +p^{n-2}{a}_{n-1}+p^{n-1}{a}_n\right)$

многочлены