Теорема. Поиск собственных чисел с помощью характеристического многочлена

Теорема

Все корни характеристического многочлена являются собственными числами оператора $A$.

Доказательство

Заметим, что множество собственных векторов операторa $A$ для корня $\lambda$ является инвариантным подпространством, поскольку из $A(x)=\lambda x$ сразу следует $A(\lambda x)={\lambda }^{2}x$.

Перепишем условие $A(x)=\lambda x$ в матричном виде в некотором базисе $g_1,\dots ,g_n$:

$$Ax=\lambda x⟺Ax=\lambda Ex⟺(A-\lambda E)x=\theta .$$

Составим соответствующее матричное уравнение (в матрице $A$ на диагонали вычтем $\lambda$):

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \dots & a_{2n}\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right).$$

Или в явном виде:

$$\{\begin{array}{l}(a_{11}-\lambda )x_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0,\\ a_{21}{x}_1+(a_{22}-\lambda )x_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0,\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +(a_{nn}-\lambda )x_n=0.\end{array}$$

Для существования нетривиального решения этой однородной системы необходимо и достаточно, чтобы

$$\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}-\lambda & \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right|=0.$$

Раскрытие этого определителя даёт уравнение $n$-й степени относительно $\lambda$.
Для каждого корня ${\lambda }_0$ этого уравнения существует ненулевое решение $(x_1,\dots ,x_n{)}^T$, то есть собственный вектор оператора $A$.

Замечание

У характеристического многочлена может быть несколько различных вещественных корней (с учётом кратности), поэтому у оператора может быть несколько собственных чисел, и одному собственному числу может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов.
Если вещественных корней нет, то вещественных собственных чисел тоже нет.
Случай комплексных корней будет рассмотрен позднее.

линейныйоператор