3. Собственные числа и векторы

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Собственное число и собственный вектор

Собственное число и собственный вектор

• Def. Пусть $A$ — Линейный оператор на пространстве $L$.
  Если существуют число $\lambda$ и ненулевой вектор $x\in L\setminus \{\theta \}$ такие, что $A(x)=\lambda x$, то ^b878d6
  • число $\lambda$ называется собственным числом оператора $A$,
  • а вектор $x$ — собственным вектором оператора $A$, соответствующим собственному числу $\lambda$. Иными словами, собственные векторы — это векторы, коллинеарные своим образам под $A$.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Собственное подпространство

Собственное подпространство

Пусть $x,y$ - собственные векторы, отвечающие собственному числу $\lambda$. Тогда

A(\alpha x+\beta y)= A(\alpha x)+A(\beta y)= \\ = \alpha A(x)+\beta A(y)=\lambda \alpha A(x)+\lambda \beta A(y) \\ =\lambda(\alpha A(x)+\beta A(y))=\lambda(A(\alpha x+\beta y)) \end{array}

т.е. вектор $\alpha x+\beta y$ также оказывается собственным относительно числа $\lambda$. Согласно критерию подпространства получаем, что множество собственных векторов, отвечающих одному собственному числу $\lambda$, образует Подпространство.

Def. Множество решений уравнения $A(x)=\lambda x$ называется собственным подпространством, отвечающим собственному числу $\lambda$ (это множество всех собственных векторов, отвечающих $\lambda$, и вектор $\theta$ ).

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Характеристический многочлен. Поиск собственных чисел

Характеристический многочлен

Характеристический многочлен

Def. Многочлен вида: ${\chi }_A(\lambda )=\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \dots & a_{2n}\\ ⋮& & & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right|$
называется характеристическим многочленом оператора $A$.

Дополнение

Если вы не понимаете, что это многочлен, то попробуйте расписать Определитель для матрицы 2-го порядка:

a_{11} - \lambda & a_{12} \\

a_{21} & a_{22} - \lambda \
\end{vmatrix}

$$Такжевыможетезаметить,чтостепеньхарактеристическогомногочленаравнапорядкуматрицы$$

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 1. Поиск собственных чисел с помощью характеристического многочлена

Теорема. Поиск собственных чисел с помощью характеристического многочлена

Теорема

Все корни характеристического многочлена являются собственными числами оператора $A$.

Доказательство

Заметим, что множество собственных векторов операторa $A$ для корня $\lambda$ является инвариантным подпространством, поскольку из $A(x)=\lambda x$ сразу следует $A(\lambda x)={\lambda }^{2}x$.

Перепишем условие $A(x)=\lambda x$ в матричном виде в некотором базисе $g_1,\dots ,g_n$:

$$Ax=\lambda x⟺Ax=\lambda Ex⟺(A-\lambda E)x=\theta .$$

Составим соответствующее матричное уравнение (в матрице $A$ на диагонали вычтем $\lambda$):

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \dots & a_{2n}\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right).$$

Или в явном виде:

$$\{\begin{array}{l}(a_{11}-\lambda )x_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0,\\ a_{21}{x}_1+(a_{22}-\lambda )x_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0,\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +(a_{nn}-\lambda )x_n=0.\end{array}$$

Для существования нетривиального решения этой однородной системы необходимо и достаточно, чтобы

$$\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}-\lambda & \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right|=0.$$

Раскрытие этого определителя даёт уравнение $n$-й степени относительно $\lambda$.
Для каждого корня ${\lambda }_0$ этого уравнения существует ненулевое решение $(x_1,\dots ,x_n{)}^T$, то есть собственный вектор оператора $A$.

Замечание

У характеристического многочлена может быть несколько различных вещественных корней (с учётом кратности), поэтому у оператора может быть несколько собственных чисел, и одному собственному числу может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов.
Если вещественных корней нет, то вещественных собственных чисел тоже нет.
Случай комплексных корней будет рассмотрен позднее.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 2. Инвариантность характеристического многочлена

Теорема. Инвариантность характеристического многочлена

Собственные числа по определению не зависят от выбора базиса, поэтому и корни характеристического многочлена не должны зависеть от выбора базиса.

Теорема

Характеристический многочлен не зависит от выбора базис.

Доказательство

Пусть $f_1,f_2,\dots ,f_n$ и $g_1,g_2,\dots ,g_n$ — два базиса линейного пространства $L$.
Тогда матрица оператора $A$ в базисах $f$ и $g$ связаны следующим образом:
$A_f=C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f},$
где $C_{f\to g}$ и $C_{g\to f}$ — матрицы перехода между этими базисами.
В новом базисе Характеристический многочлен имеет вид:
$\det (C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f}-\lambda E)=0.$

Используя тот факт, что матрица тождественного оператора не зависит от выбора базиса, то есть
$C_{f\to g}E{C}_{g\to f}=E,$
а также что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаем:

$$\begin{array}{rl}& C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f}-C_{f\to g}\lambda E{C}_{g\to f}=C_{f\to g}\left(A_g-\lambda E\right)C_{g\to f},\\ & \det \left(C_{f\to g}\left(A_g-\lambda E\right)C_{g\to f}\right)=\det C_{f\to g}\cdot \det \left(A_g-\lambda E\right)\cdot \det C_{g\to f}=\det \left(A_g-\lambda E\right),\end{array}$$

так как в произведении участвует пара взаимно обратных матриц.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Алгоритм поиска собственных чисел и собственных векторов

Алгоритм поиска собственных чисел и собственных векторов

Алгоритм поиска собственных чисел и собственных векторов

1. Записать определитель матрицы

$$A_g-\lambda E,$$

где $A_g$ — матрица оператора $A$ в базисе $g$, а $E$ — единичная матрица того же размера.

2. Раскрыть определитель, получив Характеристический многочлен

$${\chi }_A(\lambda )=\det (A_g-\lambda E),$$

который является многочленом степени $n$ по переменной $\lambda$.

3. Найти корни характеристического многочлена — это собственные числа ${\lambda }_i$ оператора $A$. Корни могут быть вещественными или комплексными.

4. Для каждого собственного числа ${\lambda }_i$ решить однородную систему линейных уравнений

$$(A_g-{\lambda }_{i}E)\cdot X=\Theta ,$$

где $X$ — вектор неизвестных коэффициентов собственного вектора. Система имеет нетривиальные решения, если и только если определитель равен нулю. Такие решения и будут собственными векторами, коллинеарными своему образу под $A$.

Пример

Пусть в некотором базисе матрица оператора $A$ имеет вид

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 4\end{array}\right).$$

Запишем Характеристический многочлен:

$${\chi }_A(\lambda )=\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 2\\ 5& 4-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda )(4-\lambda )-10={\lambda }^2-5\lambda -6=(\lambda +1)(\lambda -6)$$

то есть корнями характеристического многочлена, а значит и собственными числами оператора, являются числа $-1$ и $6$.

Найдём собственные векторы для ${\lambda }_1=-1$:

$$A-{\lambda }_{1}E=\left(\begin{array}{cc}1-(-1)& 2\\ 5& 4-(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 5& 5\end{array}\right).$$

Решениями системы

$$(A-{\lambda }_{1}E)\cdot X=\Theta$$

являются векторы вида

$$(1,-1{)}^T\alpha ,\alpha \in \mathbb{R},$$

то есть Собственное подпространство — Линейная оболочка $<(1,-1{)}^T>$.

Найдём собственные векторы для ${\lambda }_2=6$:

$$A-{\lambda }_{2}E=\left(\begin{array}{cc}1-6& 2\\ 5& 4-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 5& -2\end{array}\right).$$

Решениями системы

$$(A-{\lambda }_{2}E)\cdot X=\Theta$$

являются векторы вида

$$(2,5{)}^T\beta ,\beta \in \mathbb{R},$$

то есть Собственное подпространство — Линейная оболочка $<(2,5{)}^T>$.

Итак, оператор $A$ имеет два различных собственных числа и два собственных подпространства размерности 1.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Свойства собственных чисел и векторов

Теорема 3. Линейная независимость собственных векторов

Теорема. Линейная независимость собственных векторов

Теорема

Если оператор имеет различные собственные значения ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k$,
то соответствующие им собственные векторы, взятые по одному для каждого числа, линейно независимы.

Доказательство

Воспользуемся индукцией по числу собственных векторов.
При $k=1$ доказательство очевидно.

Пусть утверждение выполняется для $k-1$ векторов, и они линейно независимы. Докажем для $k$.
Возьмём собственные векторы $u_1,u_2,\dots ,u_k$, отвечающие числам ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k$ соответственно,
и рассмотрим линейную комбинацию

$${\alpha }_1{u}_1+{\alpha }_2{u}_2+\dots +{\alpha }_k{u}_k=\theta \text{\hspace{1em}(1)}$$

где хотя бы один коэффициент ${\alpha }_i$ не равен нулю.
Тогда, применяя оператор $A$, получаем

$$A({\alpha }_1{u}_1+{\alpha }_2{u}_2+\dots +{\alpha }_k{u}_k)=\theta ,$$

а вследствие линейности оператора и свойств собственных векторов:

$${\alpha }_1{\lambda }_1{u}_1+{\alpha }_2{\lambda }_2{u}_2+\dots +{\alpha }_k{\lambda }_k{u}_k=\theta .\text{\hspace{1em}(2)}$$

Домножим равенство (1) на ${\lambda }_k$ и вычтем результат из (2):

$${\alpha }_1({\lambda }_1-{\lambda }_k)u_1+{\alpha }_2({\lambda }_2-{\lambda }_k)u_2+\dots +{\alpha }_{k-1}({\lambda }_{k-1}-{\lambda }_k)u_{k-1}=\theta .$$

По индуктивному переходу векторы $u_1,\dots ,u_{k-1}$ линейно независимы,
поэтому

$${\alpha }_i=0,i=1,\dots ,k-1.$$

Тогда из равенства (1) следует, что ${\alpha }_k{u}_k=\theta$, то есть либо ${\alpha }_k=0$, либо $u_k=\theta$.
Вектор $u_k$ не может быть нулевым, следовательно, ${\alpha }_k=0$.

Получаем, что все коэффициенты равны нулю, что противоречит предположению.
Значит собственные векторы линейно независимы.

Следствие

Если в $n$-мерном линейном пространстве $L$ оператор имеет $n$ различных собственных чисел, то соответствующие собственные векторы образуют базис пространства $L$.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 4. Диагонализация оператора в базисе собственных векторов

Теорема. Диагонализация оператора в базисе собственных векторов

Теорема

В базисе, состоящем из собственных векторов оператора, матрица оператора имеет диагональный вид.

Доказательство

Так как все векторы базиса — собственные, то для каждого $u_i$ выполняется

$$A(u_i)={\lambda }_i{u}_i.$$

Координатный столбец вектора $A(u_i)$ в базисе $u$ имеет вид

$$(0,0,\dots ,{\lambda }_i,0,\dots ,0{)}^T,$$

где ненулевой элемент ${\lambda }_i$ стоит на $i$-й позиции.

Собрав такие столбцы в естественном порядке, получим диагональную матрицу, у которой на диагонали стоят собственные числа ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots$.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 5. Собственные векторы и собственные числа из диагональной матрицы

Теорема. Собственные векторы и собственные числа из диагональной матрицы

Теорема

Если в некотором базисе $e$ матрица оператора имеет диагональный вид, то все векторы этого базиса являются собственными векторами, а числа, стоящие на диагонали - собственными числами, то есть $A\left(e_k\right)={\lambda }_k{e}_k$
$k=1,\dots ,\mathrm{dimL}$ ¹

(Следует из определения).

Пример

В рассмотренном примере для алгоритма поиска собственных чисел выберем базис $u_1=(1,-1{)}^T,u_2=(2,5{)}^T$. В этом базисе матрица оператора будет иметь вид:

$$\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 6\end{array}\right)$$

Проверьте, что именно эта матрица получается в результате совершения действий:

$$A_u=C_{u\to e}{A}_e{C}_{e\to u}$$

²

линейныйоператор

Footnotes

1. $\mathrm{dimL}$ - Размерность линейного пространства ↩

2. $C_{u\to e}$ и $C_{e\to u}$ - Матрицы перехода ↩

Ссылка на оригинал

---

Теорема 6. Гамильтона — Кэли

Теорема Гамильтона — Кэли

Теорема

Характеристический многочлен оператора аннулирует этот оператор, то есть

$${\chi }_A(A)=\Theta .$$

Доказательство

Если $\lambda$ не является собственным числом оператора $A$, то
$\det (A-\lambda E)\ne 0$ и матрица $A-\lambda E$ обратима:

$$(A-\lambda E{)}^{-1}=\frac{1}{\det (A-\lambda E)}\tilde{A},\text{\hspace{1em}(1)}$$

где $\tilde{A}$ — присоединённая матрица, то есть транспонированная матрица алгебраических дополнений ${\tilde{a}}_{ij}$ элементов $A-\lambda E$.

Поскольку каждое ${\tilde{a}}_{ij}$ — это минор матрицы $(A-\lambda E)$ порядка $n-1$ со знаком, то при раскрытии оно даёт Многочлен от $\lambda$ степени не выше $n-1$.
Это означает, что в виде полинома

$${\tilde{a}}_{ij}(\lambda )={\tilde{a}}_{ij}^{n-1}{\lambda }^{n-1}+{\tilde{a}}_{ij}^{n-2}{\lambda }^{n-2}+\cdots +{\tilde{a}}_{ij}^0,$$

где верхний индекс в ${\tilde{a}}_{ij}^k$ не степень, а лишь метка группы коэффициентов по ${\lambda }^k$.

Переходя от элементов к целой матрице, получаем

$$\tilde{A}(\lambda )={\tilde{A}}^{n-1}{\lambda }^{n-1}+{\tilde{A}}^{n-2}{\lambda }^{n-2}+\cdots +{\tilde{A}}^0.$$

Подставляя это в (1), имеем

$$(A-\lambda E)({\tilde{A}}^{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +{\tilde{A}}^0)={\chi }_A(\lambda )E,\text{\hspace{1em}(2)}$$

где

$${\chi }_A(\lambda )=\det (A-\lambda E)=d_n{\lambda }^n+d_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +d_1\lambda +d_0.$$

С другой стороны,

$${\chi }_A(\lambda )E=d_n{\lambda }^{n}E+d_{n-1}{\lambda }^{n-1}E+\cdots +d_1\lambda E+d_{0}E.\text{\hspace{1em}(3)}$$

Сравнивая (2) и (3) по степеням $\lambda$, получаем систему

$$-{\tilde{A}}^{n-1}=d_{n}E\text{\hspace{1em}(n)}$$ $$A{\tilde{A}}^{n-1}-{\tilde{A}}^{n-2}=d_{n-1}E\text{\hspace{1em}(n-1)}$$ $$\dots$$ $$A{\tilde{A}}^1-{\tilde{A}}^0=d_{1}E\text{\hspace{1em}(1)}$$ $$A{\tilde{A}}^0=d_{0}E\text{\hspace{1em}(0)}$$

Умножив первое равенство на $A^n$, второе — на $A^{n-1}$, …, последнее — на $A^0=E$ и сложив их, получим

$$\Theta =d_n{A}^n+d_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +d_{1}A+d_{0}E={\chi }_A(A),$$

что и требовалось доказать.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 7. Инвариантность матрицы оператора и её следа

Теорема. Инвариантность матрицы оператора и её следа

Теорема

След матрицы оператора не зависит от выбора базиса пространства $L$.

Доказательство

Воспользуемся циклическим свойством следа (это следует из правил умножения матриц):
для любых матриц $C$ и $D$ одинакового размера

$$\mathrm{tr}(CD)=\mathrm{tr}(DC).$$

Пусть $A_f$ и $A_g$ — матрицы оператора $A$ в базисах $f$ и $g$ соответственно,
а $C_{f\to g}$ и $C_{g\to f}$ — матрицы перехода между ними. Тогда

$$A_f=C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f},A_g=C_{g\to f}{A}_f{C}_{f\to g}.$$

Тогда

$$\mathrm{tr}(A_f)=\mathrm{tr}\left(C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f}\right)=\mathrm{tr}\left(A_g{C}_{g\to f}{C}_{f\to g}\right)=\mathrm{tr}(A_{g}E)=\mathrm{tr}(A_g),$$

поскольку $C_{g\to f}{C}_{f\to g}=E$.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 8. Ограничение размерности собственного подпространства

Теорема. Ограничение размерности собственного подпространства

Теорема

Если ${\lambda }_0$ — корень характеристического многочлена кратности $k$,
а $U_{{\lambda }_0}$ — Собственное подпространство, отвечающее числу ${\lambda }_0$,
то

$$\dim U_{{\lambda }_0}\le k.$$

¹

Доказательство

Пусть $\dim U_{{\lambda }_0}=m\ge 1$. ¹
Выберем базис $e_1,\dots ,e_m$ пространства $U_{{\lambda }_0}$ и дополним его до базиса $L$:

$$e_1,\dots ,e_m,e_{m+1},\dots ,e_n.$$

В этом базисе, поскольку $U_{{\lambda }_0}$ инвариантно, матрица оператора $A$ имеет блочно-треугольный вид:

$$\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_0{E}_m& B\\ 0& C\end{array}\right),$$

где $E_m$ — единичная матрица размера $m\times m$.

Запишем Характеристический многочлен в этом базисе:

$${\chi }_A(\lambda )=\det (A-\lambda E)=\det \left(\begin{array}{cc}({\lambda }_0-\lambda )E_m& B\\ 0& C-\lambda E_{n-m}\end{array}\right)=({\lambda }_0-\lambda {)}^m\psi (\lambda ),$$

где $\psi (\lambda )$ — некоторый Многочлен степени $n-m$.
Поскольку ${\lambda }_0$ встречается в ${\chi }_A(\lambda )$ с кратностью $k$, получаем

$$m\le k.$$

Теорема доказана.

линейныйоператор

Footnotes

1. $\dim U_{{\lambda }_0}$ - Размерность собственного подпространства ↩ ↩²

Ссылка на оригинал

---

Алгебраическая и геометрическая кратность

Алгебраическая и геометрическая кратности собственного числа

Теорему об ограничении размерности собственного подпространства можно сформулировать на языке алгебраической и геометрической кратностей.

Def. Алгебраической кратностью собственного числа ${\lambda }_i$ называется его кратность как корня характеристического многочлена. $B$ теореме это $k$.

Def. Геометрической кратностью собственного числа ${\lambda }_i$ называется размерность собственного подпространства, отвечающего ${\lambda }_i$. $B$ теореме это $m$.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Диагонализация

Теорема 9. Критерий диагонализуемости матрицы оператора

Теорема. Критерий диагонализуемости матрицы оператора

Теорема

Матрица оператора $A$ диагонализируема над полем $\mathbf{C}$ тогда и только тогда,
когда алгебраическая кратность любого собственного числа совпадает
с его геометрической кратностью.

Доказательство

Пусть $a_i$ и $p_i$ — соответственно алгебраическая и геометрическая кратности
собственного числа ${\lambda }_i$, $i=1,\dots ,s$.

«$⟹$»: если матрица диагонализируема, то по теореме об ограничении размерности собственного подпространства

$$0<\dim U_{{\lambda }_i}=p_i\le a_i.$$

При этом

$$\dim L=\sum _{i=1}^s\dim U_{{\lambda }_i}=\sum _{i=1}^s{p}_i.$$

Но Характеристический многочлен степени $n=\dim L$ имеет сумму алгебраических кратностей

$$\sum _{i=1}^s{a}_i=n,$$

поэтому единственный способ выполнить оба равенства — это $p_i=a_i$ для всех $i$.
«$⟸$»: если для каждого $i$ выполнено $p_i=a_i$,
то

$$\sum _{i=1}^s\dim U_{{\lambda }_i}=\sum _{i=1}^s{p}_i=\sum _{i=1}^s{a}_i=\dim L.$$

Значит сумма собственных подпространств заполняет всё $L$, и из каждого $U_{{\lambda }_i}$ можно выбрать $a_i$ линейно независимых векторов. Всего их $\sum a_i=\dim L$, они являются собственными и образуют базис.

Теорема доказана.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Корневой вектор

Корневой вектор

Def. Пусть $A$ — линейный оператор векторного пространства $V$, а $\lambda$ — собственное число оператора $A$. Вектор $x\in V$ называется корневым вектором оператора $A$ для числа $\lambda$, если существует $m\ge 1$ такое, что $(A-\lambda I{)}^m(x)=\theta .$
При этом наименьшее такое $m$ называется высотой корневого вектора $x$.

Множество всех корневых векторов, отвечающих фиксированному собственному числу $\lambda$, образует корневое подпространство $U_{\lambda }$.

Очевидно, что собственные векторы (решения $(A-\lambda I)(x)=\theta$) — это корневые векторы высоты $m=1$.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Жорданова клетка

Жорданова клетка

Def. Жордановой клеткой, отвечающей собственному числу ${\lambda }_i$, называется квадратная матрица размера $m\times m$ вида

$$J_{i1}=\left(\begin{array}{ccccc}{\lambda }_i& 1& 0& \dots & 0\\ 0& {\lambda }_i& 1& \dots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \dots & 0& {\lambda }_i& 1\\ 0& \dots & 0& 0& {\lambda }_i\end{array}\right),$$

где

• ${\lambda }_i$ — собственное число оператора $A$,
• $m$ — максимальная высота корневого вектора в корневом подпространстве $U_{{\lambda }_i}$, то есть наименьшее $m$ такое, что $(A-{\lambda }_{i}I{)}^m(x)=\theta$ для некоторого $x\in U_{{\lambda }_i}$, и не выполняется при степени $m-1$.

Первый столбец этой матрицы соответствует собственному вектору $u_{i1}^0$, а последующие задают обобщённые собственные векторы $u_{i1}^1,\dots ,u_{i1}^{m-1}$, удовлетворяющие

$$(J_{i1}-{\lambda }_{i}E)u_{i1}^j=u_{i1}^{j-1},j=1,\dots ,m-1.$$

Замечание

Для одного ${\lambda }_i$ в $U_{{\lambda }_i}$ может быть несколько независимых Жордановых клеток разных или одинаковых размеров.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Жорданов блок

Жорданов блок

Def. Жордановым блоком, отвечающим собственному числу ${\lambda }_i$, называется блочно-диагональная матрица $J_i$, каждый блок которой является жордановой клеткой, отвечающей собственному числу ${\lambda }_i$:

$$J_i=\left(\begin{array}{cccc}{J}_{i1}& 0& \dots & 0\\ 0& J_{i2}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & J_{ip}\end{array}\right),$$

где $p$ — геометрическая кратность собственного числа ${\lambda }_i$.
То есть жорданов блок — это объединение расположенных на главной диагонали жордановых клеток по всем линейно независимым собственным векторам (первый столбец), отвечающим числу ${\lambda }_i$.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Жорданова матрица

Жорданова матрица

Def. Матрица вида

$$\left(\begin{array}{cccc}{J}_1& 0& \dots & 0\\ 0& J_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & J_s\end{array}\right),$$

где $J_i$, $i=1,\dots ,s$, — жордановы блоки, отвечающие собственным числам ${\lambda }_i$ оператора $A$, а $s$ — число различных собственных чисел оператора, называется жордановой матрицей или нормальной жордановой формой матрицы оператора $A$.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 10. Жордана

Теорема Жордана

Теорема

Для любого оператора, действующего в комплексном линейном пространстве, существует базис, в котором его матрица жорданова. Такой базис называется жордановым базисом оператора.

Без доказательства.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Жорданова цепочка

Жорданова цепочка

Def. Жордановой цепочкой, соответствующей собственному числу ${\lambda }_0$, называется набор векторов

$$e^0,e^1,\dots ,e^{\ell }$$

таких, что ¹

$$(A-{\lambda }_{0}I)e^0=\theta ,(A-{\lambda }_{0}I)e^j=e^{j-1}(j=1,2,\dots ,\ell ).$$

Если внимательно посмотреть на жорданову матрицу, то можно увидеть, что входящим в её состав жордановым клеткам соответствуют свои жордановы цепочки. Таким образом, объединение всех жордановых цепочек есть базис пространства $L$, называемый жордановым базисом пространства $L$.

линейныйоператор

Footnotes

1. $I$ - Тождественный оператор ↩

Ссылка на оригинал

---

Пример работы с жордановой матрицей

Пример работы с жордановой матрицей

Пример

Рассмотрим оператор пространства ${\mathbf{R}}^2$, имеющий матрицу

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 3\end{array}\right),{\chi }_A(\lambda )=\det \left(\begin{array}{cc}1-\lambda & -1\\ 1& 3-\lambda \end{array}\right)={\lambda }^2-4\lambda +4,$$

т.е. оператор имеет одно собственное число $2$ алгебраической кратности $2$.

Геометрическая кратность собственного числа:

$$\mathrm{rank}(A-2E)=1$$

Получается, что жорданова форма матрицы $A$ это

$$A_u=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right).$$

Решением ОСЛУ $(A-2E)X=\Theta$ будут векторы вида $(1,-1{)}^T\alpha$,
образующие собственное подпространство размерности 1.

Для жорданова базиса можно выбрать собственный вектор

$$u_1=(1,-1{)}^T.$$

Для поиска второго вектора жорданова базиса необходимо решить НОСЛУ

$$(A-2E)u_2=u_1,$$

т.е.

$$\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

В результате общим решением будет

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\beta (-1,1{)}^T+(-1,0{)}^T.$$

В качестве $u_2$ возьмём, например, вектор $(-1,0{)}^T$.

Проверьте, что ¹

$$A_u=C_{u\to e}{A}_e{C}_{e\to u},$$

зная, что

$$C_{e\to u}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 0\end{array}\right).$$

линейныйоператор

Footnotes

1. $C_{u\to e}{C}_{e\to u}$ - Матрицы перехода ↩

Ссылка на оригинал

---

По итогам лекции нужно знать:

1. Понятия:

   • Собственное число и собственный вектор
   • Собственное подпространство
   • Характеристический многочлен
   • Алгебраическая и геометрическая кратности собственного числа
   • Жорданова клетка, блок, матрица
   • Жорданов базис

2. Алгоритм определения собственных чисел и собственных векторов линейного оператора

3. Вид матрицы оператора в базисе из собственных векторов

4. Аннулирующее свойство характеристического многочлена

5. Инвариантность матрицы оператора и её следа

6. Критерий диагонализируемости матрицы оператора

7. Основные теоретические факты с доказательствами

линейныйоператор