Теорема. Ограничение размерности собственного подпространства

Теорема

Если ${\lambda }_0$ — корень характеристического многочлена кратности $k$,
а $U_{{\lambda }_0}$ — Собственное подпространство, отвечающее числу ${\lambda }_0$,
то

$$\dim U_{{\lambda }_0}\le k.$$

¹

Доказательство

Пусть $\dim U_{{\lambda }_0}=m\ge 1$. ¹
Выберем базис $e_1,\dots ,e_m$ пространства $U_{{\lambda }_0}$ и дополним его до базиса $L$:

$$e_1,\dots ,e_m,e_{m+1},\dots ,e_n.$$

В этом базисе, поскольку $U_{{\lambda }_0}$ инвариантно, матрица оператора $A$ имеет блочно-треугольный вид:

$$\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_0{E}_m& B\\ 0& C\end{array}\right),$$

где $E_m$ — единичная матрица размера $m\times m$.

Запишем Характеристический многочлен в этом базисе:

$${\chi }_A(\lambda )=\det (A-\lambda E)=\det \left(\begin{array}{cc}({\lambda }_0-\lambda )E_m& B\\ 0& C-\lambda E_{n-m}\end{array}\right)=({\lambda }_0-\lambda {)}^m\psi (\lambda ),$$

где $\psi (\lambda )$ — некоторый Многочлен степени $n-m$.
Поскольку ${\lambda }_0$ встречается в ${\chi }_A(\lambda )$ с кратностью $k$, получаем

$$m\le k.$$

Теорема доказана.

линейныйоператор

Footnotes

1. $\dim U_{{\lambda }_0}$ - Размерность собственного подпространства ↩ ↩²