Алгоритм поиска собственных чисел и собственных векторов

Алгоритм поиска собственных чисел и собственных векторов

1. Записать определитель матрицы

$$A_g-\lambda E,$$

где $A_g$ — матрица оператора $A$ в базисе $g$, а $E$ — единичная матрица того же размера.

2. Раскрыть определитель, получив Характеристический многочлен

$${\chi }_A(\lambda )=\det (A_g-\lambda E),$$

который является многочленом степени $n$ по переменной $\lambda$.

3. Найти корни характеристического многочлена — это собственные числа ${\lambda }_i$ оператора $A$. Корни могут быть вещественными или комплексными.

4. Для каждого собственного числа ${\lambda }_i$ решить однородную систему линейных уравнений

$$(A_g-{\lambda }_{i}E)\cdot X=\Theta ,$$

где $X$ — вектор неизвестных коэффициентов собственного вектора. Система имеет нетривиальные решения, если и только если определитель равен нулю. Такие решения и будут собственными векторами, коллинеарными своему образу под $A$.

Пример

Пусть в некотором базисе матрица оператора $A$ имеет вид

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 4\end{array}\right).$$

Запишем Характеристический многочлен:

$${\chi }_A(\lambda )=\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 2\\ 5& 4-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda )(4-\lambda )-10={\lambda }^2-5\lambda -6=(\lambda +1)(\lambda -6)$$

то есть корнями характеристического многочлена, а значит и собственными числами оператора, являются числа $-1$ и $6$.

Найдём собственные векторы для ${\lambda }_1=-1$:

$$A-{\lambda }_{1}E=\left(\begin{array}{cc}1-(-1)& 2\\ 5& 4-(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 5& 5\end{array}\right).$$

Решениями системы

$$(A-{\lambda }_{1}E)\cdot X=\Theta$$

являются векторы вида

$$(1,-1{)}^T\alpha ,\alpha \in \mathbb{R},$$

то есть Собственное подпространство — Линейная оболочка $<(1,-1{)}^T>$.

Найдём собственные векторы для ${\lambda }_2=6$:

$$A-{\lambda }_{2}E=\left(\begin{array}{cc}1-6& 2\\ 5& 4-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 5& -2\end{array}\right).$$

Решениями системы

$$(A-{\lambda }_{2}E)\cdot X=\Theta$$

являются векторы вида

$$(2,5{)}^T\beta ,\beta \in \mathbb{R},$$

то есть Собственное подпространство — Линейная оболочка $<(2,5{)}^T>$.

Итак, оператор $A$ имеет два различных собственных числа и два собственных подпространства размерности 1.

линейныйоператор