Теорема. Критерий обратной матрицы и способ её нахождения

Теорема

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Доказательство

Пусть $A$ имеет обратную. Тогда, по свойству определителей:

$$A^{-1}\cdot A=E⟹\det A^{-1}\cdot \det A=1⟹\det A\ne 0$$

Обратно. Пусть $\det A\ne 0$. Предъявим обратную матрицу.
Умножим $A$ на присоединённую матрицу и воспользуемся теоремой об алгебраических дополнениях и следствием 2 из неё:

$$\begin{array}{rl}& A\cdot \tilde{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \dots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \dots & a_{n2}\\ \dots & & & \\ A_{1n}& A_{2n}& \dots & A_{nn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\det A& 0& \dots & 0\\ 0& \det A& \dots & 0\\ \dots & & & \\ 0& 0& \dots & \det A\end{array}\right)=\\ & =\det A\cdot E.\end{array}$$

По условию, $\det A\ne 0$, следовательно, матрица $\frac{1}{\det A}\cdot \tilde{A}$ является обратной к $A$ (умножение с другой стороны рассматривается аналогично).

Пример нахождения обратной матрицы

Теорема предоставляет способ нахождения обратной матрицы:

Пусть $A=\left(\begin{array}{lll}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$

$\det A=1+1+0-1-0-0=1$

$A_{11}=(-1{)}^{1+1}\cdot \left|\begin{array}{ll}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=1,A_{21}=(-1{)}^{2+1}.\left|\begin{array}{ll}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=-1$ и т.д.

Тогда $A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{lll}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& 0& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$

матрица