Теорема Гамильтона — Кэли

Теорема

Характеристический многочлен оператора аннулирует этот оператор, то есть

$${\chi }_A(A)=\Theta .$$

Доказательство

Если $\lambda$ не является собственным числом оператора $A$, то
$\det (A-\lambda E)\ne 0$ и матрица $A-\lambda E$ обратима:

$$(A-\lambda E{)}^{-1}=\frac{1}{\det (A-\lambda E)}\tilde{A},\text{\hspace{1em}(1)}$$

где $\tilde{A}$ — присоединённая матрица, то есть транспонированная матрица алгебраических дополнений ${\tilde{a}}_{ij}$ элементов $A-\lambda E$.

Поскольку каждое ${\tilde{a}}_{ij}$ — это минор матрицы $(A-\lambda E)$ порядка $n-1$ со знаком, то при раскрытии оно даёт Многочлен от $\lambda$ степени не выше $n-1$.
Это означает, что в виде полинома

$${\tilde{a}}_{ij}(\lambda )={\tilde{a}}_{ij}^{n-1}{\lambda }^{n-1}+{\tilde{a}}_{ij}^{n-2}{\lambda }^{n-2}+\cdots +{\tilde{a}}_{ij}^0,$$

где верхний индекс в ${\tilde{a}}_{ij}^k$ не степень, а лишь метка группы коэффициентов по ${\lambda }^k$.

Переходя от элементов к целой матрице, получаем

$$\tilde{A}(\lambda )={\tilde{A}}^{n-1}{\lambda }^{n-1}+{\tilde{A}}^{n-2}{\lambda }^{n-2}+\cdots +{\tilde{A}}^0.$$

Подставляя это в (1), имеем

$$(A-\lambda E)({\tilde{A}}^{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +{\tilde{A}}^0)={\chi }_A(\lambda )E,\text{\hspace{1em}(2)}$$

где

$${\chi }_A(\lambda )=\det (A-\lambda E)=d_n{\lambda }^n+d_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +d_1\lambda +d_0.$$

С другой стороны,

$${\chi }_A(\lambda )E=d_n{\lambda }^{n}E+d_{n-1}{\lambda }^{n-1}E+\cdots +d_1\lambda E+d_{0}E.\text{\hspace{1em}(3)}$$

Сравнивая (2) и (3) по степеням $\lambda$, получаем систему

$$-{\tilde{A}}^{n-1}=d_{n}E\text{\hspace{1em}(n)}$$ $$A{\tilde{A}}^{n-1}-{\tilde{A}}^{n-2}=d_{n-1}E\text{\hspace{1em}(n-1)}$$ $$\dots$$ $$A{\tilde{A}}^1-{\tilde{A}}^0=d_{1}E\text{\hspace{1em}(1)}$$ $$A{\tilde{A}}^0=d_{0}E\text{\hspace{1em}(0)}$$

Умножив первое равенство на $A^n$, второе — на $A^{n-1}$, …, последнее — на $A^0=E$ и сложив их, получим

$$\Theta =d_n{A}^n+d_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +d_{1}A+d_{0}E={\chi }_A(A),$$

что и требовалось доказать.

линейныйоператор