Теорема. Диагонализация оператора в базисе собственных векторов

Теорема

В базисе, состоящем из собственных векторов оператора, матрица оператора имеет диагональный вид.

Доказательство

Так как все векторы базиса — собственные, то для каждого $u_i$ выполняется

$$A(u_i)={\lambda }_i{u}_i.$$

Координатный столбец вектора $A(u_i)$ в базисе $u$ имеет вид

$$(0,0,\dots ,{\lambda }_i,0,\dots ,0{)}^T,$$

где ненулевой элемент ${\lambda }_i$ стоит на $i$-й позиции.

Собрав такие столбцы в естественном порядке, получим диагональную матрицу, у которой на диагонали стоят собственные числа ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots$.

линейныйоператор