Жорданова клетка

Def. Жордановой клеткой, отвечающей собственному числу ${\lambda }_i$, называется квадратная матрица размера $m\times m$ вида

$$J_{i1}=\left(\begin{array}{ccccc}{\lambda }_i& 1& 0& \dots & 0\\ 0& {\lambda }_i& 1& \dots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \dots & 0& {\lambda }_i& 1\\ 0& \dots & 0& 0& {\lambda }_i\end{array}\right),$$

где

• ${\lambda }_i$ — собственное число оператора $A$,
• $m$ — максимальная высота корневого вектора в корневом подпространстве $U_{{\lambda }_i}$, то есть наименьшее $m$ такое, что $(A-{\lambda }_{i}I{)}^m(x)=\theta$ для некоторого $x\in U_{{\lambda }_i}$, и не выполняется при степени $m-1$.

Первый столбец этой матрицы соответствует собственному вектору $u_{i1}^0$, а последующие задают обобщённые собственные векторы $u_{i1}^1,\dots ,u_{i1}^{m-1}$, удовлетворяющие

$$(J_{i1}-{\lambda }_{i}E)u_{i1}^j=u_{i1}^{j-1},j=1,\dots ,m-1.$$

Замечание

Для одного ${\lambda }_i$ в $U_{{\lambda }_i}$ может быть несколько независимых Жордановых клеток разных или одинаковых размеров.

линейныйоператор