Теорема. Критерий подпространства

Теорема

$$\begin{array}{rl}& \forall V\in \mathrm{Vect},U\subseteq V:\\ & U\le V⟺(U\ne \varnothing \wedge \forall x,y\in U,\forall \alpha ,\beta \in P:\alpha x+\beta y\in U).\end{array}$$

$U\subseteq V$ - обозначение подмножества
$U\le V$ - обозначение подпространства

Смысл: вместо проверки восьми аксиом векторного пространства, можно взять уже известное векторное пространство (если наше Множество является его подмножеством) и проверить только одно свойство.

Доказательство

1. Необходимость:
   Пусть $U$ - подпространство линейного пространства $V$ над полем $P$ (т.е. само является линейным пространством над тем же полем).
   По определению линейного пространства множество $U$ является замкнутым относительно умножения векторов из $U$ на элементы из поля $P$, поэтому $\alpha x,\beta y\in U$.Также оно замкнуто относительно сложения, т.е. $\alpha x+\beta y\in U$

2. Достаточность:
   Пусть выполняются условие из правой части утверждения. Покажем, что $U$ - подпространство векторного пространства $V$. В силу определения подпространства, достаточно показать, что $U$ векторное пространство над полем $P$:

   Из условия $\forall x,y\in U,\alpha ,\beta \in P(\alpha x+\beta y\in U)$ следует, что множество $U$ замкнуто относительно сложения и относительно умножения элементов из $U$ на элементы из поля $P$.

   Проверим для $U$ выполнимость аксиом линейного пространства. Заметим что, так как $U\subseteq V$ и $V$ - линейное пространство над полем $P$, то в $U$ выполняются аксиомы 1,2,5-8.
   Покажем, что аксиомы 3 и 4 также выполнены:

   • Если $u\in U$, то $0\cdot u=\theta$ , т.е. $\theta \in U$. Аксиома 3 выполнена.

   • Также $-1\cdot u=-u$ , т.е. обратный элемент также содержится в $U$ и выполнена аксиома 4

Примеры

1. $M_1$ - множество вещественных матриц вида $\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ 0& a_{22}\end{array}\right),M_2=M_{2\times 2}(\mathbf{R})$, $M_1\le M_2,\dim M_1=3,\dim M_2=4$
   ¹

2. $U=\left\{\left(0,a_2,a_3,\dots ,a_n\right)\mid a_i\in \mathbf{R},i=2,\dots ,n\right\},U\le {\mathbf{R}}^n,\dim {\mathbf{R}}^n=n,\dim U=n-1$.
   ¹²

линейноепространство

Footnotes

1. $\dim$ - Размерность линейного пространства ↩ ↩²

2. $U=\{|\}$ - Способ задать множество ↩