Теорема. Ядро и образ линейного оператора как подпространства

Теорема

Ядро и образ линейного оператора $A$ линейного пространства $L$ являются подпространствами $L$.

Доказательство.

Пусть $x,y\in \mathrm{Ker}A$¹. Тогда для произвольных $\alpha ,\beta \in L$ выполнено:

$$A(\alpha x+\beta y)=\alpha A(x)+\beta A(y)=\theta +\theta =\theta ,$$

т.е. $\alpha x+\beta y\in \mathrm{Ker}A$ и, согласно критерию подпространства, $\mathrm{Ker}A\le L$.

Теперь пусть $x,y\in \mathrm{Im}A$². Тогда существуют $x_0,y_0\in L$ такие, что $A(x_0)=x$ и $A(y_0)=y$. Следовательно:

$$A(\alpha x_0+\beta y_0)=\alpha A(x_0)+\beta A(y_0)=\alpha x+\beta y,$$

т.е. для вектора $\alpha x+\beta y$ нашёлся прообраз, а значит $\alpha x+\beta y\in \mathrm{Im}A$ и, по критерию, $\mathrm{Im}A\le L$.

линейныйоператор

Footnotes

1. $\mathrm{Ker}A$ - Ядро линейного оператора ↩

2. $\mathrm{Im}A$ - Образ линейного оператора ↩