Ядро и образ линейного оператора

Ядро линейного оператора

Ядро линейного оператора
Def. Ядром линейного оператора $A$ линейного пространства $L$ называется множество $Ker A =$ ${x \in L ∣ A (x) = θ}$
То есть это все те векторы, которые оператор обращает в нулевой вектор.

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Образ линейного оператора

Образ линейного оператора
Def. Образом линейного оператора $A$ называется множество $Im A = {A (x) ∣ x \in L}$ . Или просто: $Im A = A (L)$ .

То есть это все те векторы, которые получаются в результате применения линейного оператора ко всем векторам линейного пространства. Если вспомнить, что линейный оператор это функция, то образ оператора это множество значений данной функции.

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Теорема 1. Ядро и образ линейного оператора как подпространства

Теорема. Ядро и образ линейного оператора как подпространства

Теорема

Ядро и образ линейного оператора $A$ линейного пространства $L$ являются подпространствами $L$ .

Доказательство.

Пусть $x, y \in Ker A$ ¹. Тогда для произвольных $α, β \in L$ выполнено:
$A (αx + β y) = α A (x) + β A (y) = θ + θ = θ,$
т.е. $αx + β y \in Ker A$ и, согласно критерию подпространства, $Ker A \leq L$ .

Теперь пусть $x, y \in Im A$ ². Тогда существуют $x_{0}, y_{0} \in L$ такие, что $A (x_{0}) = x$ и $A (y_{0}) = y$ . Следовательно:
$A (α x_{0} + β y_{0}) = α A (x_{0}) + β A (y_{0}) = αx + β y,$
т.е. для вектора $αx + β y$ нашёлся прообраз, а значит $αx + β y \in Im A$ и, по критерию, $Im A \leq L$ .

линейныйоператор

Footnotes

$Ker A$ - Ядро линейного оператора ↩

$Im A$ - Образ линейного оператора ↩

Ссылка на оригинал

Теорема 2. Образ линейного оператора как линейная оболочка столбцов матрицы оператора

Теорема. Образ линейного оператора как линейная оболочка столбцов матрицы оператора
Очевидно, что для поиска базиса ядра оператора нужно решить однородную систему уравнений, соответствующую матрице оператора. Рассмотрим, как устроен образ.

Теорема

Образ линейного оператора представляет собой линейную оболочку столбцов матрицы данного оператора (в базис $g$ ).

Доказательство

Действительно, для
$x = α_{1} g_{1} + α_{2} g_{2} + \dots + α_{n} g_{n}$
имеет место(линейность)
$A (x) = A (α_{1} g_{1} + α_{2} g_{2} + \dots + α_{n} g_{n}) = α_{1} A (g_{1}) + α_{2} A (g_{2}) + \dots + α_{n} A (g_{n}),$
причём координаты векторов $A (g_{i})$ , $i = 1, \dots, n$ , в базисе $g$ и есть столбцы матрицы оператора $A$ .

Следствие

Размерность образа линейного оператора $A$ равна рангу его матрицы:
$dim Im A = rank A$
(в любом базис — поясните почему)

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Размерность образа и ядра

Размерность образа и ядра
Def. Размерность образа линейного оператора $A$ называется рангом этого оператора $A$

Def. Размерность ядра линейного оператора $A$ называется дефектом этого оператора $A$

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Примеры

Примеры ядра и базиса линейных операторов

Примеры

Пусть $A$ — линейный оператор проектирования на плоскость $O x y$ в $V^{3}$ .

В стандартном базисе $i, j, k$ имеем:
$A (i) = i, A (j) = j, A (k) = θ,$
т.е. ядро $Ker A =< k >$ .
Поскольку для любого $x \in V^{3}$ выполнено $A (x) = α i + β j$ , то
$Im A =< i, j >= O x y$ .
Проще говоря, образом оператора проекции на плоскость является сама эта плоскость.

Пусть $D$ — оператор дифференцирования на $R^{3} [x]$ .

Если $x^{3}, x^{2}, x, 1$ — базис $R^{3} [x]$ , то $D (1) = θ$ ,
т.е. ядро оператора образуют многочлены–константы.

С другой стороны, для $f \in R^{3} [x]$ имеем
$D (f) = b_{0} x^{2} + b_{1} x + b_{2},$
т.е. $Im D =< x^{2}, x, 1 >$ , образ оператора $D$ состоит из многочленов не выше второй степени.

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Инъективный линейный оператор

Инъективный линейный оператор
Def. Линейный оператор $A$ называется инъективным, если разным векторам соответствуют разные образы при данном операторе.

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Теорема 3. Критерий инъективности линейного оператора

Теорема. Критерий инъективности линейного оператора

Теорема

Линейный оператор $A$ линейного пространства $L$ инъективен тогда и только тогда, когда $Ker A = {θ}$ ¹

Доказательство.

Пусть $A$ инъективен. Если $Ker A \neq = {θ}$ ¹, то найдётся неравный нулевому элемент $a \in Ker A$ (нулевой в ядре есть всегда — поясните почему), такой что
$A (a) = θ = A (θ),$
что противоречит инъективности.
Обратно: пусть $Ker A = {θ}$ ¹. Возьмём $x, y \in L : A (x) = A (y)$ . Тогда
$A (x) - A (y) = θ или A (x - y) = θ,$
т.е. $(x - y) \in Ker A$ . Следовательно, $x - y = θ$ и элементы совпадают.

линейныйоператор

Footnotes

$Ker A$ - Ядро линейного оператора ↩ ↩² ↩³

Ссылка на оригинал

Теорема 4. Сохранение линейной независимости у образов

Теорема. Сохранение линейной независимости у образов

Теорема

Пусть $A : L \to L$ — инъективный линейный оператор. Тогда для любых линейно независимых векторов $g_{1}, \dots, g_{k} \in L$ их образы $A (g_{1}), \dots, A (g_{k})$ также линейно независимы.

Доказательство.

Возьмём линейно независимые векторы $g_{1}, \dots, g_{k} \in L$ и запишем линейную комбинацию их образов:
$α_{1} A (g_{1}) + α_{2} A (g_{2}) + \dots + α_{k} A (g_{k}) = θ .$
Отсюда
$A (α_{1} g_{1} + α_{2} g_{2} + \dots + α_{k} g_{k}) = θ,$
а поскольку $A$ инъективен, то
$α_{1} g_{1} + α_{2} g_{2} + \dots + α_{k} g_{k} = θ .$
Вследствие линейной независимости $g_{1}, \dots, g_{k}$ получаем $α_{i} = 0$ для всех $i$ , а значит образы $A (g_{1}), \dots, A (g_{k})$ линейно независимы.

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Теорема 5. Размерность суммы размерностей образа и ядра

Теорема. Размерность суммы размерностей образа и ядра

Теорема

Пусть $A$ — произвольный линейный оператор пространства $L$ . Тогда сумма размерностей образа и ядра равна размерности пространства:
$dim Im A + dim Ker A = dim L .$

Доказательство

Пусть ¹ $dim Ker A = k$ ; $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{k}$ — базис $Ker A$ ; $e_{k + 1}, e_{k + 2}, \dots, e_{n}$ — дополнение до базиса $L$ .
Рассмотрим векторы $A e_{k + 1}, A e_{k + 2}, \dots, A e_{n}$ . Очевидно, что все они принадлежат $Im A$ ². Покажем, что они образуют базис в $Im A$ .
Сначала проверим линейную независимость.
$λ_{k + 1} A e_{k + 1} + λ_{k + 2} A e_{k + 2} + \dots + λ_{n} A e_{n} = θ$
или
$A (λ_{k + 1} e_{k + 1} + λ_{k + 2} e_{k + 2} + \dots + λ_{n} e_{n}) = θ$
т.е. $λ_{k + 1} e_{k + 1} + λ_{k + 2} e_{k + 2} + \dots + λ_{n} e_{n} \in Ker A$ ¹
что невозможно, так как это линейная комбинация векторов, не принадлежащих ядру.
Следовательно,
$λ_{k + 1} e_{k + 1} + λ_{k + 2} e_{k + 2} + \dots + λ_{n} e_{n} = θ$
а поскольку базисные векторы линейно независимы, то $λ_{k + 1} = λ_{k + 2} = \dots = λ_{n} = 0$ и $A e_{k + 1}, A e_{k + 2}, \dots, A e_{n}$ линейно независимы.

Теперь возьмём произвольный вектор $y = A x \in Im A$ ²
Вектор $x$ можно представить в виде суммы элементов ядра и элементов, не принадлежащих ядру:
$x = (α_{1} e_{1} + \dots + α_{k} e_{k}) + (α_{k + 1} e_{k + 1} + \dots + α_{n} e_{n})$
Тогда
$y = A x = A (α_{1} e_{1} + \dots + α_{k} e_{k}) + A (α_{k + 1} e_{k + 1} + \dots + α_{n} e_{n}) = θ + α_{k + 1} A e_{k + 1} + \dots + α_{n} A e_{n},$
т.е. любой элемент образа может быть представлен в виде линейной комбинации векторов $A e_{k + 1}, A e_{k + 2}, \dots, A e_{n}$ .

Таким образом, оба условия базиса выполнены, $dim Ker A = k, dim Im A = n - k$ и
$dim Im A + dim Ker A = dim L$

Замечание

Свойство размерностей ядра и образа из теоремы не означает, что в сумме ядро и образ образуют всё пространство $L$ , т.е. в общем случае $Ker A \oplus Im A \neq = L$ . ¹²
Рассмотрим пример:
Пусть $A$ — линейный оператор пространства $V^{3}$ и $A (i) = j, A (j) = k, A (k) = θ$ .
Во-первых, запишем матрицу этого оператора:
$010001000$
$Ker A =< k >$ , поскольку “обнуляются” только векторы, коллинеарные $k$ .
Образ линейного оператора — линейная оболочка столбцов его матрицы, т.е. $Im A =< j, k >$ .
Получаем, что $Ker A \subset Im A$ , $Ker A + Im A =< j, k >= Im A \neq = V^{3}$ .

линейныйоператор

Footnotes

$Ker A$ - Ядро линейного оператора ↩ ↩² ↩³

$Im A$ - Образ линейного оператора ↩ ↩² ↩³

Ссылка на оригинал

Действия над линейными операторами

Умножение оператора на число

Умножение оператора на число
Def. Произведением оператора $A$ на число $λ \in P$ называется оператор, действующий по правилу $(λ A) (x) = λ \cdot A (x)$ для любого $x \in L$ .

Свойства умножения оператора на число

$α (β A) = (α β) A$

$(α + β) A = α A + β A$

$α (A + B) = α A + α B$

Докажите самостоятельно.

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Сумма линейных операторов

Сумма линейных операторов
Def. Суммой линейных операторов $A$ и $B$ называется функция, действующая по правилу $(A + B) (x) = A (x) + B (x)$ для любого $x \in L$ .

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Произведение линейных операторов

Произведение линейных операторов
Def. Произведением линейных операторов $A$ и $B$ называется Функция, действующая по правилу $A \circ B (x) = A (B (x))$ для любого $x \in L$ .

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Обратный оператор

Обратимый и обратный операторы
Def. Если для оператора $A$ существует такой оператор $A^{- 1}$ , что $A \circ A^{- 1} = A^{- 1} \circ A = I$ , то оператор $A$ называется обратимым или невырожденным (в противном случае - вырожденным), а оператор $A^{- 1}$ называется обратным к $A$ .

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Теорема 6. Линейность суммы и произведения операторов

Теорема. Линейность суммы и произведения операторов

Теорема

Сумма и произведение операторов $A$ и $B$ пространства $L$ также являются линейными операторами

Доказательство

Для суммы доказательство очевидно.

Рассмотрим функцию $A \circ B$ , покажем, что она является линейным оператором пространства $L$
$A \circ B (x + y) = A (B (x + y)) = A (B (x) + B (y)) = A (B (x)) + A (B (y)) = A \circ B (x) + A \circ B (y)$
Для умножения на число распишите самостоятельно

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Теорема 7. Наличие матрицы оператора у функций сложения и умножения

Теорема. Наличие матрицы оператора у функций сложения и умножения

Теорема

Оператор $A + B$ имеет матрицу $A + B$ , оператор $A \circ B$ имеет матрицу $A B$ в базисе $e_{1}, \dots, e_{n}$
$A$ и $B$ — матрицы операторов $A$ и $B$

Доказательство

Вычислим образы базисных векторов $(A \circ B) (e_{i})$
$(B (e_{i}))_{e} (A \circ B) (e_{i})_{e} = b_{1 i} b_{2 i} ⋮ b_{ni} = b_{1 i} e_{1} + b_{2 i} e_{2} + \dots + b_{ni} e_{n} (i - й столбец матрицы B_{e}) = A (B (e_{i}))_{e} = A (b_{1 i} e_{1} + \dots + b_{ni} e_{n}) = b_{1 i} A (e_{1}) + \dots + b_{ni} A (e_{n})$
¹
$b_{1 i} a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} + b_{2 i} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} + \dots + b_{ni} a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} = a_{11} b_{1 i} + a_{12} b_{2 i} + \dots + a_{1 n} b_{ni} a_{21} b_{1 i} + a_{22} b_{2 i} + \dots + a_{2 n} b_{ni} ⋮ a_{n 1} b_{1 i} + a_{n 2} b_{2 i} + \dots + a_{nn} b_{ni}$
а это и есть результат произведения матриц
Для сложения заметим, что
$(A + B) (e_{i}) = A (e_{i}) + B (e_{i})$
значит матрица суммы равна сумме матриц

Следствие 1

Множество операторов линейного пространства $L$ образует абелеву группу относительно операции сложения
Проверьте выполнение четырёх свойств, предъявите нейтральный и обратный элементы

Следствие 2

Умножение операторов в общем случае некоммутативно

Следствие 3

Оператор $A$ обратим тогда и только тогда, когда $Ker A = {θ}$ ²
Действительно, оператор обратим ⇔ обратима его матрица,
матрица обратима ⇔ $rank A = n = dim Im A$ ³
⇔ $dim Ker A = 0$ ⁴ ⇔ $Ker A = {θ}$

Замечание

Рассмотрим $Oper (L)$ — множество всех операторов линейного пространства $L$
На нём заданы операции сложения и умножения на число, причём относительно сложения оно образует группу (следствие 1), а перечисленные в начале лекции свойства умножения на число (вкупе с очевидным $1 \cdot A = A$ ) обеспечивают выполнение аксиом 5–8 линейного пространства
Таким образом, $Oper (L)$ — ещё один пример линейного пространства над тем же полем, что и $L$
Очевидно, что оно изоморфно пространству квадратных матриц порядка $n$ .
Исходя из этого, легко подобрать базис $Oper (L)$ и определить его размерность

линейныйоператор

Footnotes

$(A \circ B) (e_{i})_{e}$ - композиция функций ↩

$Ker A$ - Ядро линейного оператора ↩

$Im A$ - Образ линейного оператора ↩

$dim$ - Размерность линейного пространства ↩

Ссылка на оригинал

Теорема 8. Аннулирующий многочлен

Теорема. Аннулирующий многочлен
Теперь рассмотрим многочлен от линейных операторов:
$P (A) = a_{0} A^{m} + a_{1} A^{m - 1} + \dots + a_{n - 1} A + I$
где $A$ - произвольный линейный оператор, а $I$ - тождественный линейный оператор (считаем, что $A^{0} = I d$ )

Аналогично для многочлена от матриц (только с матрицей $E$ вместо тождественного оператора)

Теорема

Для любой матрицы порядка $n$ существуют такие числа $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n^{2}} \in P$ , что многочлен
$a_{0} A^{n^{2}} + a_{1} A^{n^{2} - 1} + \dots + a_{n^{2} - 1} A + E = Θ$

Доказательство

Множество матриц порядка $n$ образует линейное пространство размерности $n^{2}$ , следовательно любые $n^{2} + 1$ матрицы линейно зависимы
Иначе говоря, для любой матрицы существует аннулирующий многочлен степени $n^{2}$ , такой что $P (A) = Θ$ ¹

Замечание

На самом деле существует многочлен степени $n$ . Этот факт утверждает теорема Гамильтона–Кэли, о том, что это за многочлен, будет сказано позднее (см. лекцию о собственных числах)

линейныйоператор

Footnotes

$Θ$ - нулевая матрица ↩

Ссылка на оригинал

Инвариантные подпространства

Инвариантное подпространство
Def. Подпространство $L_{0}$ называется инвариантным относительно линейного оператора $A$ , если $\forall x \in L_{0} A (x_{0}) \in L_{0}$ , иначе говоря, $A (L_{0}) \subseteq L_{0}$ .
$A$ - Линейный оператор на $L$ и $L_{0} \leq L$

Примеры

Тривиальные случаи: ${θ}$ и само $L$

$A : V^{3} \to V^{3}$ — оператор поворота геометрического пространства векторов на угол $ϕ$ вокруг оси $O x$

Инвариантной является плоскость $O yz$ , перпендикулярная оси $O x$

Сама ось вращения является инвариантной, более того — неподвижной, так как при таком вращении все её точки остаются на месте, а значит и векторы

У оператора дифференцирования $D$ , действующего на пространстве $R^{n} [x]$ , инвариантными являются все подпространства $R^{m} [x]$ при $m \leq n$

При этом не будут инвариантными, например, подпространства $L_{x_{0}}$ , состоящие из всех многочленов, имеющих корень $x_{0}$ :
$D (x - x_{0}) = 1 \in / L_{x_{0}}$

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Теорема 9. Ядро и образ инвариантные подпространства

Теорема. Ядро и образ инвариантные подпространства

Теорема

Подпространства $Ker A$ ¹ и $Im A$ ² являются инвариантными

Доказательство

Для $x \in Ker A$ ¹
$A (x) = θ$
и значит $A (x) \in Ker A$

Для $y \in Im A$ ² по определению существует $x \in L$ такое, что $y = A (x)$ . Тогда
$A (y) = A (A (x))$
и поскольку $A (A (x)) \in Im A$ , получаем $A (y) \in Im A$

линейныйоператор

Footnotes

$Ker A$ - Ядро линейного оператора ↩ ↩²

$Im A$ - Образ линейного оператора ↩ ↩²

Ссылка на оригинал

Сужение оператора на инвариантное подпространство

Сужение оператора на инвариантное подпространство
Def. Сужением оператора $A$ на Инвариантное подпространство $L_{0} \leq L$ называется Линейный оператор $A_{L_{0}} : L_{0} \to L_{0}$ , при котором $A_{L_{0}} (x) = A (x)$ для любого $x \in L_{0}$

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Свойства инвариантных подпространств

Свойства инвариантных подпространств

Свойства

Если $L_{0}$ — инвариантное подпространство относительно обратимого оператора $A$ линейного пространства $L$ , то его сужение $A_{L_{0}}$ также обратимо.

Если $L_{1}, L_{2} \leq L$ — инвариантные подпространства относительно линейного оператора $A$ , то их пересечение $L_{1} \cap L_{2}$ и сумма $L_{1} + L_{2}$ также инвариантны.

Для $x \in L_{1} \cap L_{2}$ :
$x \in L_{1}, x \in L_{2} ⟹ A (x) \in L_{1}, A (x) \in L_{2} ⟹ A (x) \in L_{1} \cap L_{2}$ .

Для $x \in L_{1} + L_{2}$ :
$x = x_{1} + x_{2}$ , где $x_{1} \in L_{1}, x_{2} \in L_{2}$ . Тогда
$A (x) = A (x_{1} + x_{2}) = A (x_{1}) + A (x_{2}) = y_{1} + y_{2} \in L_{1} + L_{2} .$

линейныйоператор
Ссылка на оригинал

Теорема 10. Матрица оператора в базисе из векторов инвариантных подпространств

Теорема. Матрица оператора в базисе из векторов инвариантных подпространств

Теорема

Пусть $L_{0}$ — инвариантное относительно оператора $A$ подпространство пространства $L$ и $dim L_{0} = m$ ¹.
Тогда существует базис $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ линейного пространства $L$ , в котором матрица оператора $A$ имеет вид:
$(B 0 C D)$
где $B$ — матрица сужения оператора $A$ на подпространство $L_{0}$ , $0$ — нулевая матрица размера $(n - m) \times m$ , $C$ и $D$ — матрицы размеров $m \times (n - m)$ и $(n - m) \times (n - m)$ соответственно.

И наоборот: если в некотором базисе $e_{1}, \dots, e_{n}$ матрица оператора $A$ имеет нулевой угол (нулевую матрицу размера $(n - m) \times m$ ), то оператор $A$ имеет $m$ -мерное Инвариантное подпространство.

Доказательство

Дополним базис $e_{1}, \dots, e_{m}$ подпространства $L_{0}$ до базиса $L$ векторами $e_{m + 1}, \dots, e_{n}$ .
Тогда для любого $i = 1, \dots, m$
$A (e_{i}) = α_{1} e_{1} + α_{2} e_{2} + \dots + α_{m} e_{m} + 0 \cdot e_{m + 1} + \dots + 0 \cdot e_{n}$
Следовательно, первые $m$ столбцов матрицы оператора $A$ в этом базисе будут иметь последние $n - m$ элементов равными нулю.

Обратное утверждение доказывается теми же рассуждениями в обратном порядке.

Следствие

Если $n$ -мерное пространство $L$ распадается в прямую сумму ненулевых инвариантных подпространств
$L = L_{1} \oplus L_{2} \oplus \dots \oplus L_{k},$
то существует базис, в котором матрица оператора $A$ имеет блочно-диагональный вид:
$A_{1} 0 ⋮ 0 0 A_{2} 0 \dots \dots \dots 00 ⋮ A_{k}$
где $A_{i}$ — матрица сужения $A$ на $L_{i}$ , $i = 1, \dots, k$ .

Пример

Рассмотрим оператор поворота $A$ вокруг оси $O x$ . Пусть
$L_{1} = O x, L_{2} = O yz, V^{3} = L_{1} \oplus L_{2} .$
В базис ${i, j, k}$ матрица оператора имеет вид:
$100 0 cos ϕ sin ϕ 0 - sin ϕ cos ϕ$

Замечание

Эта матрица ортогональна.

линейныйоператор

Footnotes

$dim L_{0} = m$ - Размерность линейного пространства ↩

Ссылка на оригинал

По итогам лекции нужно знать:

Понятия:
Как искать базис ядра и образа
Связь размерностей ядра и образа
Умножение оператора на число, сумма и произведение операторов
Аннулирующий многочлен
Свойства инвариантных подпространств
Матрица оператора в базисе из векторов инвариантных подпространств
Основные теоретические факты с доказательствами

линейноепространство

etuMath

Проводник

2. Ядро и образ линейного оператора. Инвариантные подпространства

Ядро и образ линейного оператора

Ядро линейного оператора

Ядро линейного оператора

Образ линейного оператора

Образ линейного оператора

Теорема 1. Ядро и образ линейного оператора как подпространства

Теорема. Ядро и образ линейного оператора как подпространства

Footnotes

Теорема 2. Образ линейного оператора как линейная оболочка столбцов матрицы оператора

Теорема. Образ линейного оператора как линейная оболочка столбцов матрицы оператора

Размерность образа и ядра

Размерность образа и ядра

Примеры

Примеры ядра и базиса линейных операторов

Инъективный линейный оператор

Инъективный линейный оператор

Теорема 3. Критерий инъективности линейного оператора

Теорема. Критерий инъективности линейного оператора

Footnotes

Теорема 4. Сохранение линейной независимости у образов

Теорема. Сохранение линейной независимости у образов

Теорема 5. Размерность суммы размерностей образа и ядра

Теорема. Размерность суммы размерностей образа и ядра

Footnotes

Действия над линейными операторами

Умножение оператора на число

Умножение оператора на число

Сумма линейных операторов

Сумма линейных операторов

Произведение линейных операторов

Произведение линейных операторов

Обратный оператор

Обратимый и обратный операторы

Теорема 6. Линейность суммы и произведения операторов

Теорема. Линейность суммы и произведения операторов

Теорема 7. Наличие матрицы оператора у функций сложения и умножения

Теорема. Наличие матрицы оператора у функций сложения и умножения

Footnotes

Теорема 8. Аннулирующий многочлен

Теорема. Аннулирующий многочлен

Footnotes

Инвариантные подпространства

Инвариантное подпространство

Теорема 9. Ядро и образ инвариантные подпространства

Теорема. Ядро и образ инвариантные подпространства

Footnotes

Сужение оператора на инвариантное подпространство

Сужение оператора на инвариантное подпространство

Свойства инвариантных подпространств

Свойства инвариантных подпространств

Теорема 10. Матрица оператора в базисе из векторов инвариантных подпространств

Теорема. Матрица оператора в базисе из векторов инвариантных подпространств

Footnotes

По итогам лекции нужно знать:

Вид графа

Оглавление