Теорема. Наличие матрицы оператора у функций сложения и умножения

Теорема

Оператор $A+B$ имеет матрицу $A+B$, оператор $A\circ B$ имеет матрицу $AB$ в базисе $e_1,\dots ,e_n$
$A$ и $B$ — матрицы операторов $A$ и $B$

Доказательство

Вычислим образы базисных векторов $(A\circ B)(e_i)$

$$\begin{array}{rl}(B(e_i){)}_e& =\left(\begin{array}{c}{b}_{1i}\\ b_{2i}\\ ⋮\\ b_{ni}\end{array}\right)=b_{1i}{e}_1+b_{2i}{e}_2+\cdots +b_{ni}{e}_n(i\text{-й столбец матрицы }{B}_e)\\ (A\circ B)(e_i{)}_e& =A(B(e_i){)}_e=A(b_{1i}{e}_1+\cdots +b_{ni}{e}_n)=b_{1i}A(e_1)+\cdots +b_{ni}A(e_n)\end{array}$$

¹

$$b_{1i}\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{n1}\end{array}\right)+b_{2i}\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{n2}\end{array}\right)+\cdots +b_{ni}\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ ⋮\\ a_{nn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{b}_{1i}+a_{12}{b}_{2i}+\cdots +a_{1n}{b}_{ni}\\ a_{21}{b}_{1i}+a_{22}{b}_{2i}+\cdots +a_{2n}{b}_{ni}\\ ⋮\\ a_{n1}{b}_{1i}+a_{n2}{b}_{2i}+\cdots +a_{nn}{b}_{ni}\end{array}\right)$$

а это и есть результат произведения матриц
Для сложения заметим, что

$$(A+B)(e_i)=A(e_i)+B(e_i)$$

значит матрица суммы равна сумме матриц

Следствие 1

Множество операторов линейного пространства $L$ образует абелеву группу относительно операции сложения
Проверьте выполнение четырёх свойств, предъявите нейтральный и обратный элементы

Следствие 2

Умножение операторов в общем случае некоммутативно

Следствие 3

Оператор $A$ обратим тогда и только тогда, когда $\mathrm{Ker}A=\{\theta \}$²
Действительно, оператор обратим ⇔ обратима его матрица,
матрица обратима ⇔ $\mathrm{rank}A=n=\dim \mathrm{Im}A$³
⇔ $\dim \mathrm{Ker}A=0$⁴ ⇔ $\mathrm{Ker}A=\{\theta \}$

Замечание

Рассмотрим $\mathrm{Oper}(L)$ — множество всех операторов линейного пространства $L$
На нём заданы операции сложения и умножения на число, причём относительно сложения оно образует группу (следствие 1), а перечисленные в начале лекции свойства умножения на число (вкупе с очевидным $1\cdot A=A$) обеспечивают выполнение аксиом 5–8 линейного пространства
Таким образом, $\mathrm{Oper}(L)$ — ещё один пример линейного пространства над тем же полем, что и $L$
Очевидно, что оно изоморфно пространству квадратных матриц порядка $n$.
Исходя из этого, легко подобрать базис $\mathrm{Oper}(L)$ и определить его размерность

линейныйоператор

Footnotes

1. $(A\circ B)(e_i{)}_e$ - композиция функций ↩

2. $\mathrm{Ker}A$ - Ядро линейного оператора ↩

3. $\mathrm{Im}A$ - Образ линейного оператора ↩

4. $\dim$ - Размерность линейного пространства ↩