Теорема. Ядро и образ инвариантные подпространства

Теорема

Подпространства $\mathrm{Ker}A$ ¹ и $\mathrm{Im}A$ ² являются инвариантными

Доказательство

Для $x\in \mathrm{Ker}A$¹

$$A(x)=\theta$$

и значит $A(x)\in \mathrm{Ker}A$

Для $y\in \mathrm{Im}A$² по определению существует $x\in L$ такое, что $y=A(x)$. Тогда

$$A(y)=A(A(x))$$

и поскольку $A(A(x))\in \mathrm{Im}A$, получаем $A(y)\in \mathrm{Im}A$

линейныйоператор

Footnotes

1. $\mathrm{Ker}A$ - Ядро линейного оператора ↩ ↩²

2. $\mathrm{Im}A$ - Образ линейного оператора ↩ ↩²