Теорема. Образ линейного оператора как линейная оболочка столбцов матрицы оператора

Очевидно, что для поиска базиса ядра оператора нужно решить однородную систему уравнений, соответствующую матрице оператора. Рассмотрим, как устроен образ.

Теорема

Образ линейного оператора представляет собой линейную оболочку столбцов матрицы данного оператора (в базис $g$).

Доказательство

Действительно, для

$$x={\alpha }_1{g}_1+{\alpha }_2{g}_2+\cdots +{\alpha }_n{g}_n$$

имеет место(линейность)

$$A(x)=A({\alpha }_1{g}_1+{\alpha }_2{g}_2+\cdots +{\alpha }_n{g}_n)={\alpha }_{1}A(g_1)+{\alpha }_{2}A(g_2)+\cdots +{\alpha }_{n}A(g_n),$$

причём координаты векторов $A(g_i)$, $i=1,\dots ,n$, в базисе $g$ и есть столбцы матрицы оператора $A$.

Следствие

Размерность образа линейного оператора $A$ равна рангу его матрицы:

$$\dim \mathrm{Im}A=\mathrm{rank}A$$

(в любом базис — поясните почему)

линейныйоператор