Теорема. Критерий инъективности линейного оператора

Теорема

Линейный оператор $A$ линейного пространства $L$ инъективен тогда и только тогда, когда $\mathrm{Ker}A=\{\theta \}$ ¹

Доказательство.

Пусть $A$ инъективен. Если $\mathrm{Ker}A\ne \{\theta \}$ ¹, то найдётся неравный нулевому элемент $a\in \mathrm{Ker}A$ (нулевой в ядре есть всегда — поясните почему), такой что

$$A(a)=\theta =A(\theta ),$$

что противоречит инъективности.
Обратно: пусть $\mathrm{Ker}A=\{\theta \}$¹. Возьмём $x,y\in L:A(x)=A(y)$. Тогда

$$A(x)-A(y)=\theta \text{или}A(x-y)=\theta ,$$

т.е. $(x-y)\in \mathrm{Ker}A$. Следовательно, $x-y=\theta$ и элементы совпадают.

линейныйоператор

Footnotes

1. $\mathrm{Ker}A$ - Ядро линейного оператора ↩ ↩² ↩³