Теорема. Сохранение линейной независимости у образов

Теорема

Пусть $A:L\to L$ — инъективный линейный оператор. Тогда для любых линейно независимых векторов $g_1,\dots ,g_k\in L$ их образы $A(g_1),\dots ,A(g_k)$ также линейно независимы.

Доказательство.

Возьмём линейно независимые векторы $g_1,\dots ,g_k\in L$ и запишем линейную комбинацию их образов:

$${\alpha }_{1}A(g_1)+{\alpha }_{2}A(g_2)+\cdots +{\alpha }_{k}A(g_k)=\theta .$$

Отсюда

$$A({\alpha }_1{g}_1+{\alpha }_2{g}_2+\cdots +{\alpha }_k{g}_k)=\theta ,$$

а поскольку $A$ инъективен, то

$${\alpha }_1{g}_1+{\alpha }_2{g}_2+\cdots +{\alpha }_k{g}_k=\theta .$$

Вследствие линейной независимости $g_1,\dots ,g_k$ получаем ${\alpha }_i=0$ для всех $i$, а значит образы $A(g_1),\dots ,A(g_k)$ линейно независимы.

линейныйоператор