Теорема
Пусть — произвольный линейный оператор пространства . Тогда сумма размерностей образа и ядра равна размерности пространства:
Доказательство
Пусть 1; — базис ; — дополнение до базиса .
Рассмотрим векторы . Очевидно, что все они принадлежат 2. Покажем, что они образуют базис в .
Сначала проверим линейную независимость.или
т.е. 1
что невозможно, так как это линейная комбинация векторов, не принадлежащих ядру.
Следовательно,а поскольку базисные векторы линейно независимы, то и линейно независимы.
Теперь возьмём произвольный вектор 2
Вектор можно представить в виде суммы элементов ядра и элементов, не принадлежащих ядру:Тогда
т.е. любой элемент образа может быть представлен в виде линейной комбинации векторов .
Таким образом, оба условия базиса выполнены, и
Замечание
Свойство размерностей ядра и образа из теоремы не означает, что в сумме ядро и образ образуют всё пространство , т.е. в общем случае . 12
Рассмотрим пример:
Пусть — линейный оператор пространства и .
Во-первых, запишем матрицу этого оператора:, поскольку “обнуляются” только векторы, коллинеарные .
Образ линейного оператора — линейная оболочка столбцов его матрицы, т.е. .
Получаем, что , .