1. Введение в теорию множеств

Множества

Множество

Множество

Под множеством понимается любая совокупность определенных, различаемых между собой объектов, которые можно представить как единое целое.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.

• Если элемент $x$ принадлежит множеству $M$, это записывают как $x\in M$.
• Если элемент $x$ не принадлежит множеству $M$, пишут $x\notin M$.

Способы задания и обозначения

1. Перечислением элементов в фигурных скобках $\{{\text{элемент}}_1,\dots \}$.

2. Указание характеристического свойства $\{\text{элемент}|\text{свойство}\}$

3. Исключение из уже определённого $A\setminus \{2\}$

Примеры

$M=\{\text{«слон»},\text{«кот»}\}$ – задано перечислением.

$A=\{1,2,3\}$ – задано перечислением.

$B=\{x\mid x$ – четное число $\}$ – задано характеристическим свойством. Множество чётных чисел

$C=B\setminus \{2\}$ – задано исключением из ранее определённого $B$. Множество $C$ где есть все чётные числа кроме $2$

Основные свойства множеств

Отсутствие порядка: порядок перечисления элементов не имеет значения. $\{1,2,3\}=\{3,1,2\}$.

Уникальность: элементы во множестве не повторяются.
$\{1,1,2\}=\{1,2\}$.

Однозначность: для любого объекта можно точно сказать, является ли он элементом данного множества

Ссылка на оригинал

Пустое множество

Пустое множество

Пустое множество

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом $\varnothing$.

Замечание

Запись в виде $\{\varnothing \}$ является ошибкой (это множество, содержащее пустое множество).

Ссылка на оригинал

Подмножество

Подмножество

Подмножество (нестрогое)

Множество $A$ называется подмножеством множества $B$ если каждый элемент из $A$ является элементом множества $B$

Обозначение: $A\subseteq B$

Собственное (строгое) подмножество

Множество $A$ называется собственным подмножеством множества $B$, если каждый элемент из $A$ является элементом множества $B$ и при этом множество $B$ содержит хотя бы один элемент не входящий в множество $A$

Обозначение: $A\subset B$

Неоднозначность знака $\subset$

Следует иметь в виду, что знак $\subset$ является более универсальным. В одних учебниках он означает строгое включение, а в других любое.

Несобственное подмножество

Множество $A$ называется несобственным подмножеством множества $B$, если оно совпадает с $B$ целиком или является пустым множеством.

Количество несобственных подмножеств

Несобственных подмножеств максимум (а на самом деле почти всегда) два. Случай когда оно одно это пустое множество.

Примеры

Рассмотрим $A=\{0,1,2,3,4,5\}$

Несобственными подмножествами множества $A$ будут $\{0,1,2,3,4,5\}$ и $\varnothing$

Собственными подмножествами множества $A$ являются множества $\{3\},\{0,5\}$ и так далее.

Ссылка на оригинал

Равные множества

Равные множества

Равные множества

Множества $A$ и $B$ называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть когда и $A$ и $B$ являются подмножествами друг для друга

$$A=B⟺A\subseteq B\text{ и }B\subseteq A$$

Ссылка на оригинал

Основные числовые множества

Основные числовые множества

Множество натуральных чисел

Множество натуральных чисел ( $\mathbf{N}$ ) используется при естественном счёте.

$$\mathbf{N}=\{1,2,3,\dots \}$$

Отсутствие нуля

Каноническое множество натуральных чисел не содержит $0$.
Для натурального множества с $0$ принято использовать обозначение $N_0$

Множество целых чисел

Множество натуральных чисел дополняется до множества целых чисел $(\mathbf{Z})$ при помощи нуля и отрицательных чисел.

$$\mathbf{Z}=\{\dots -2,-1,0,1,2,3,\dots \}$$

Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел $(\mathbf{Q})$ – все возможные дроби вида $\frac{p}{q}$, где $p$ – целое число, $q$ – натуральное.

Примеры рациональных чисел: $\frac{5}{4},\frac{1}{2},\frac{2}{2},-\frac{3}{3},\frac{0}{5}$ и так далее

Подмножества рациональных чисел

Множество натуральных и целых чисел являются подмножеством множества рациональных чисел

Множество иррациональных чисел

Множество иррациональных чисел $(\mathbf{I})$ – все числа которые нельзя представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ – целое число, $q$ – натуральное.

Примеры иррациональных чисел: $\sqrt{2},e,\pi$ и так далее

Уникальность множества иррациональных чисел

Из определения следует, что множество иррациональных чисел не содержит в себе элементы из множества натуральных, целых и рациональных чисел.

Множество вещественных (действительных) чисел

Множество вещественных чисел $(\mathbf{R})$ – множество которое содержит в себе натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа.

$$\mathbf{R}=\mathbf{I}\cup \mathbf{Q}$$

$\cup$ – операция объединения множеств

Множество комплексных чисел

Множество комплексных чисел $(\mathbf{С})$ – множество в котором все элементы это пары чисел вида $z=(x,y)$, где $x,y\in \mathbf{R}$.
Такие числа называются комплексными

Связь числовых множеств

Все эти множества (за исключением множества иррациональных чисел) связаны тем, что они являются подмножествами друг друга

$$\mathbf{N}\subseteq \mathbf{Z}\subseteq \mathbf{Q}\subseteq \mathbf{R}\subseteq \mathbf{C}$$

Ссылка на оригинал

Высказывания и предикаты

Высказывание

Высказывание

Высказыванием будем называть утверждение, про которое можно однозначно сказать, является оно истинным или ложным.

Ссылка на оригинал

Предикат

Предикат

Предложение с переменными, которое при замене этих переменных на определённые значения превращается в высказывание, называется предикатом.

Примеры

Предикат $P(x)=x>-1$
$x=1$ – ложное высказывание
$x=2$ – истинное высказывание

Предикат $P(x)=x^2+1>0$
Принимает истинное значение при любых значениях переменной.

Двуместный предикат $P(x,y)=x^2+y^2=0$
Принимает истинное значение при $x$ и $y$ равные $0$

Ссылка на оригинал

Область определения и истинности предиката

Область определения и истинности предиката

Область определения

Множество всех значений переменной $x$, при которых предикат $P(x)$ становится высказыванием, называется областью определения этого предиката.

Обозначается как $D_{P(x)}$ или $D(P(x))$.

Область истинности

Множество всех значений переменной $x$, при которых предикат $P(x)$ становится истинным высказыванием, называется областью истинности этого предиката.

Обозначается как $\{x\mid P(x)\}$. Множество всех таких $x$, что $P(x)$ верно.

Примеры

Рассмотрим предикат $P(x)=x^2-1<0$, где $x$ – любое число. Тогда

Областью определения будет $D(P(x))=$ любому числу

Областью истинности $\{x|x\in (-1;1)\}$ – то есть все числа в интервале
от $-1$ до $1$

Ссылка на оригинал

Кванторы

Кванторы

Важное свойство кванторов

В примерах для предиката использовались свободные переменные, которым можно было придавать любые допустимые значения, квантор превращает переменную $x$ в связанную, она не имеет самостоятельного значения и служит для обозначения неких утверждений.

Квантор всеобщности

Логическая операция, соответствующая выражению $\forall xP(x)$ (а также сам знак $\forall$ ) называется квантором всеобщности.
Читается как: для любого $x$ выполняется предикат $P(x)$

Пример

$\forall x\left(x^2+1=2\right)$
Высказывание ложно, так как предикат принимает истинное значение не при всех значениях переменной $x$.

Квантор существования

Логическая операция, соответствующая выражению $\exists xP(x)$ (а также сам знак $\exists$ ) называется квантором существования.
Читается как: существует хотя бы один $x$ для которого выполняется предикат $P(x)$

Примеры

1. $\exists x\left(x^2+1=2\right)$
   Существует такой $x$, что $x^2+1=2$. Это истинное высказывание, так как такие $x$ действительно найдутся.

2. $\exists x\left(x^2+1>0\right)$
   Такие $x$ также существуют, высказывание истинно. То, что предикат принимает истинное значение $\forall x$ (а не при некоторых) значениях переменной $x$, не является противоречием.
   

Квантор единственности

Логическая операция, соответствующая выражению $\exists !xP(x)$ (а также сам знак $\exists !$ ) называется квантором единственности.
Читается как: существует только один $x$ для которого выполняется предикат $P(x)$

Пример

$\exists !x\in \mathbf{Z}:\left(x^2+1=2\right)$
Существует единственный $x$ из множества целых чисел, что $x^2+1=2$. Это ложное высказывание так как у уравнения два корня $\{-1,1\}\subset \mathbf{Z}$. Истинным его можно сделать, заменив $\mathbf{Z}$ на натуральные числа.

Пример совмещения кванторов

$\forall x\in \mathbf{N}\exists k\in \mathbf{Z}:\left(x^k=1\right)$

Для любого натурального $x$ существует такое целое $k$, что $x^k=1$. Это истинное высказывание.

Пример отрицания высказывания записанного через кванторы

При отрицании высказывания кванторы и предикат меняются на свою противоположность:

$$\begin{array}{lc}& \neg (\forall x:P(x))⟺\exists x:\neg P(x)\\ & \neg (\exists x:P(x))⟺\forall x:\neg P(x)\end{array}$$

$\neg$ это знак отрицания.

Отрицанием высказывания $\forall x\in \mathbf{N}:(x-1>0)$ является высказываем $\exists x\in \mathbf{N}:(x-1\le 0)$
Квантор всеобщности заменён на квантор существования, а предикат $P(x)(x-1>0)$ заменён на противоположный, то есть на его отрицание: $(x-1\le 0)$.

Ссылка на оригинал

Базовые операции над множествами

Базовые операции над множествами

Пересечение множеств

Пересечением множеств $A$ и $B$ называется множество

$$A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ и }x\in B\}$$

Множества $A$ и $B$ называются непересекающимися, если $A\cap B$ – пустое множество

Объединение множеств

Объединением множеств $A$ и $B$ называется множество

$$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ или }x\in B\}$$

Разность множеств

Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество

$$A\backslash B=\{x\mid x\in A\wedge x\notin B\}$$

Примеры операций над множествами

Пусть $A=\{1,2\},B=\{2,3,4\}$. Тогда

$$\begin{array}{rl}& A\cap B=\{2\},\\ & A\cup B=\{1,2,3,4\},\\ & A\setminus B=\{1\},\end{array}$$

множество

Ссылка на оригинал

Декартово произведение множеств

Декартово произведение множеств

Определение

Декартовым произведением множеств $A$ и $B$ называется множество $A\times B=\{(x,y)\mid x\in A\wedge y\in B\},$то есть множество пар, в которых первый элемент берётся из множества $A$, а второй – из множества $B$.

Пример

для $A=\{1,3\}$ и $B=\{3,4,8\}$ получаем декартово произведение:

$$A\times B=\{(1,3),(1,4),(1,8),(3,3),(3,4),(3,8)\}.$$

Ссылка на оригинал

---

Что нужно запомнить

1. Понятия:
   • Высказывание
   • Предикат
   • Множества, подмножества, собственные и несобственные множества
   • Область определения и истинности предиката
   • Кванторы
2. Как совершать операции над множествами
3. Как читать и записывать выражения с кванторами

---

Список использованных источников

Источники

1. Конспект лекции по «Алгебра и Геометрия». Лектор Костырев И. И.