Кванторы

Важное свойство кванторов

В примерах для предиката использовались свободные переменные, которым можно было придавать любые допустимые значения, квантор превращает переменную $x$ в связанную, она не имеет самостоятельного значения и служит для обозначения неких утверждений.

Квантор всеобщности

Логическая операция, соответствующая выражению $\forall xP(x)$ (а также сам знак $\forall$ ) называется квантором всеобщности.
Читается как: для любого $x$ выполняется предикат $P(x)$

Пример

$\forall x\left(x^2+1=2\right)$
Высказывание ложно, так как предикат принимает истинное значение не при всех значениях переменной $x$.

Квантор существования

Логическая операция, соответствующая выражению $\exists xP(x)$ (а также сам знак $\exists$ ) называется квантором существования.
Читается как: существует хотя бы один $x$ для которого выполняется предикат $P(x)$

Примеры

1. $\exists x\left(x^2+1=2\right)$
   Существует такой $x$, что $x^2+1=2$. Это истинное высказывание, так как такие $x$ действительно найдутся.

2. $\exists x\left(x^2+1>0\right)$
   Такие $x$ также существуют, высказывание истинно. То, что предикат принимает истинное значение $\forall x$ (а не при некоторых) значениях переменной $x$, не является противоречием.
   

Квантор единственности

Логическая операция, соответствующая выражению $\exists !xP(x)$ (а также сам знак $\exists !$ ) называется квантором единственности.
Читается как: существует только один $x$ для которого выполняется предикат $P(x)$

Пример

$\exists !x\in \mathbf{Z}:\left(x^2+1=2\right)$
Существует единственный $x$ из множества целых чисел, что $x^2+1=2$. Это ложное высказывание так как у уравнения два корня $\{-1,1\}\subset \mathbf{Z}$. Истинным его можно сделать, заменив $\mathbf{Z}$ на натуральные числа.

Пример совмещения кванторов

$\forall x\in \mathbf{N}\exists k\in \mathbf{Z}:\left(x^k=1\right)$

Для любого натурального $x$ существует такое целое $k$, что $x^k=1$. Это истинное высказывание.

Пример отрицания высказывания записанного через кванторы

При отрицании высказывания кванторы и предикат меняются на свою противоположность:

$$\begin{array}{lc}& \neg (\forall x:P(x))⟺\exists x:\neg P(x)\\ & \neg (\exists x:P(x))⟺\forall x:\neg P(x)\end{array}$$

$\neg$ это знак отрицания.

Отрицанием высказывания $\forall x\in \mathbf{N}:(x-1>0)$ является высказываем $\exists x\in \mathbf{N}:(x-1\le 0)$
Квантор всеобщности заменён на квантор существования, а предикат $P(x)(x-1>0)$ заменён на противоположный, то есть на его отрицание: $(x-1\le 0)$.