Теорема Гаусса

Теорема

Любой Многочлен $f(x)\in P[x]$ степени не меньше 1 имеет хотя бы 1 комплексный корень.

Без доказательства.

Следствие 1

Пусть $f(x)\in P[x],\mathrm{deg}(f)=n\ge 1$. Тогда $f(x)$ имеет ровно $n$ комплексных корней с учётом их кратности.

Доказательство

По теореме Гаусса $f(x)$ имеет комплексный корень $z_1$. Тогда, по следствию из теоремы Безу

$$f(x)=\left(x-z_1\right)f_1(x)$$

где $\mathrm{deg}\left(f_1(x)\right)=n-1$.

Применим теорему Гаусса к $f_1(x)$, получим:

$$f_1(x)=\left(x-z_2\right)f_2(x)\text{ и }\mathrm{deg}\left(f_2(x)\right)=n-2$$

Повторяя эти рассуждения ещё $n-2$ раза для каждого $f_i(x)$, получим, что

$$f(x)=\left(x-z_1\right)\left(x-z_2\right)\cdot \dots \cdot \left(x-z_{n-1}\right)a_n\left(x-z_n\right)$$

Некоторые корни могут совпадать. Следствие доказано. Более того, мы получили, что каждый Многочлен степени $n$ над полем комплексных чисел раскладывается в произведение $n$ линейных сомножителей.

Следствие 2

Если Комплексное число $z_0=x_0+i{y}_0$ - корень многочлена $f(x)$ с вещественными коэффициентами, то $\overline{z_0}=x_0-i{y}_0$ также является корнем $f(x)$.

Доказательство

По свойствам комплексного сопряжения имеем:

$$\begin{array}{rl}& f\left(z_0\right)=a_n{z}_0^n+a_{n-1}{z}_0^{n-1}+\dots +a_1{z}_0+a_0=0⟹\\ & \overline{0}=\overline{f\left(z_0\right)}=\overline{a_n{z}_0^n+a_{n-1}{z}_0^{n-1}+\dots +a_1{z}_0+a_0}=a_n\overline{z_0^n}+a_{n-1}\overline{z_0^{n-1}}+\dots +a_1\overline{z_0}+a_0=\\ & =f\left(\overline{z_0}\right)\end{array}$$

Следствие 3

Каждый многочлен с вещественными коэффициентами степени $n\ge 1$ раскладывается в произведение неприводимых многочленов не выше второй степени.

Доказательство

По следствию 2 , если $z_0$ - корень $f(x)$, то и $\overline{z_0}$ является корнем данного многочлена.
Это означает, что двучлены $\left(x-z_0\right)=\left(x-x_0-i{y}_0\right)$ и $\left(x-\overline{z_0}\right)=\left(x-x_0+i{y}_0\right)$ являются делителями $f(x)$.
Перемножим их:

$$\left(x-x_0-i{y}_0\right)\left(x-x_0+i{y}_0\right)={\left(x-x_0\right)}^2-{\left(i{y}_0\right)}^2={\left(x-x_0\right)}^2+y_0^2=x^2+2x_0+x_0^2+y_0^2$$

Получили квадратный многочлен с вещественными коэффициентами.

многочлены комплексныечисла