Билинейная форма в вещественном линейном пространстве

• Def. Билинейной формой в вещественном линейном пространстве $L$ называется Функция ¹ $B:L\times L\to \mathbf{R}$линейная по первому и по второму аргументу, т.е. $\forall x,y,z\in L,\forall \lambda ,\mu \in \mathbf{R}$ :
  1. $B(\lambda x+\mu y,z)=\lambda B(x,z)+\mu B(y,z)$;
  2. $B(x,\lambda y+\mu z)=\lambda B(x,y)+\mu B(x,z)$

Замечание

Каждое из свойств линейности билинейной формы можно расписать в виде двух свойств: линейности относительно сложения векторов и линейности относительно умножения вектора на число.

Пример 1

Скалярное произведение. Помимо стандартных свойств выполняются также симметричность и положительная определённость.

Пример 2

Билинейная форма линейного оператора.
Для линейного оператора $A$ в ортонормированном базисе задаём форму
$B(x,y)=(A(x),y)$:

$$\begin{array}{rl}& =(\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& & & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right))=\\ & =(\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\dots +a_{nn}{x}_n\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right))=\\ & =((a_{11}{x}_1+\dots +a_{1n}{x}_n)y_1+\dots +(a_{n1}{x}_1+\dots +a_{nn}{x}_n)y_n)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_j{y}_i.\end{array}$$

Разным операторам соответствуют разные билинейные формы:
$(A(x),y)=(F(x),y)⟹(A(x)-F(x),y)=0⟹$
$⟹(A-F)(x)=0⟹A(x)=F(x)\forall x\in L$.
И наоборот, любая билинейная форма в ортонормированном базисе порождает Линейный оператор (матрица получается из коэффициентов $a_{ij}$).

В ${\mathbf{R}}^2$ форме
$3x_1{y}_1+2x_1{y}_2-x_2{y}_1+4x_2{y}_2$
соответствует оператор с матрицей
$A_e=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 4\end{array}\right).$

Кроме того,

=\sum_{j=1}^{n}\Bigl(\sum_{i=1}^{n}x_ja_{ij}\Bigr)y_i =\sum_{j=1}^{n}x_j\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{ij}y_i\Bigr) =(x_e,A_e^{T}y_e),$$ что показывает: [[Билинейная форма в вещественном линейном пространстве|билинейная форма]] порождает [[Сопряжённый оператор]].

билинейнаяиквадратичнаяформы

Footnotes

1. $L\times L$ - Декартово произведение множеств ↩