Матрица билинейной формы

Координатная запись билинейной формы

Зафиксируем векторы пространства $L$ в базисе $g_1,g_2,\dots ,g_n$.

Для $x=x_1{g}_1+x_2{g}_2+\dots +x_n{g}_n$ и $y=y_1{g}_1+y_2{g}_2+\dots +y_n{g}_n$ имеем

$$\begin{array}{rl}B(x,y)& =B(x_1{g}_1+x_2{g}_2+\dots +x_n{g}_n,y_1{g}_1+y_2{g}_2+\dots +y_n{g}_n)=\\ & =x_1{y}_{1}B(g_1,g_1)+\dots +x_1{y}_{n}B(g_1,g_n)+\\ & +x_2{y}_{1}B(g_2,g_1)+\dots +x_2{y}_{n}B(g_2,g_n)+\\ & ⋮\\ & +x_n{y}_{1}B(g_n,g_1)+\dots +x_n{y}_{n}B(g_n,g_n).\end{array}$$

Если обозначить $B(g_i,g_j)$ через $b_{ij}$, то

$$B(x,y)=(b_{11}{x}_1{y}_1+\dots +b_{1n}{x}_1{y}_n)+\dots +(b_{n1}{x}_n{y}_1+\dots +b_{nn}{x}_n{y}_n)=\sum _{i,j=1}^n{b}_{ij}{x}_i{y}_j.$$

Обратите внимание: первый индекс $b_{ij}$ соответствует $x_i$, второй — $y_j$.

Def. Матрицей билинейной формы в базисе $g_1,g_2,\dots ,g_n$ называется матрица

$$B_g=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& & & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \dots & b_{nn}\end{array}\right),$$

где $b_{ij}=B(g_i,g_j)$.

Используя эту матрицу, форму можно записать как

$$B(x,y)=x_g{B}_g{y}_g^T,$$

где $x_g=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$,
$y_g=(y_1,y_2,\dots ,y_n{)}^T$.

Матрица формы в новом базисе

В ${\mathbf{R}}^2$ задана билинейная форма $B(x,y)=x_1{y}_1+3x_1{y}_2-3x_2{y}_2.$
Найдём её матрицу в базисе $g_1=(1,1{)}^T,g_2=(-1,1{)}^T$.

B(g_{1},g_{1})&=1,\\ B(g_{1},g_{2})&=-1,\\ B(g_{2},g_{1})&=-7,\\ B(g_{2},g_{2})&=-5. \end{aligned}$$ $$B_{g}=\begin{pmatrix}1&-1\\-7&-5\end{pmatrix}$$ Поэтому $$B(x,y)_{g}=x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-7x_{2}y_{1}-5x_{2}y_{2}.$$

Форма по заданной матрице

В некотором базисе $g$ пространства ${\mathbf{R}}^3$ задана матрица
$B_g=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 3& 4& -1\\ -4& 0& 0\end{array}\right).$
Полагая $b_{ij}=B(g_i,g_j)$, получаем форму
$B(x,y)=x_1{y}_1-x_1{y}_2-x_1{y}_3+3x_2{y}_1+4x_2{y}_2-x_2{y}_3-4x_3{y}_1,$
где $x=(x_1,x_2,x_3{)}^T,y=(y_1,y_2,y_3{)}^T$ — координаты в том же базисе.

билинейнаяиквадратичнаяформы