Виды функций

Def 1. Функция $f:X\to Y$ называется инъективной (инъекция), если

$$\forall x_1,x_2\in X(x_1\ne x_2⟹f(x_1)\ne f(x_2))$$

Def. Функция $f:X\to Y$ называется сюръективной (сюръекция), если

$$\forall y\in Y\exists x\in X:f(x)=y$$

То есть $f(X)=\mathrm{Im}f$

Def. Если Функция инъективна и сюръективна, то она называется биективной (биекция).

Дополнение

Если множества равномощны (то есть элементы первого множества могут быть занумерованы с помощь второго и наоборот), то между ними можно построить биекцию
$\left|A\right|=\left|B\right|\iff bi(A,B)\ne \varnothing$

Примеры

$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$	Инъекция	Сюръекция	Биекция
$\sqrt{x^2}-5$	-	-	-
$x^3-x$	-	+	-

Пример 2

Рассмотрим пример, в котором участвуют множества $X$ и $Y$ разной природы. Дана функция:

$$f:M_{2\times 2}(\mathbb{R})\to \mathbb{R},f(A)=\det A.$$

Каждой матрице $2\times 2$ сопоставляется её определитель. Функция обладает свойством мультипликативности

$$\det (A\cdot B)=\det A\cdot \det B,\forall x\in D_f$$

Эта функция не инъективна (разные матрицы могут иметь одинаковый определитель), но сюръективна (каждое вещественное число может быть получено как $\det A$).

функцияиотображение