1. Функции. Отображения

Функция и отображение

Декартово произведение

Декартово произведение множеств

Определение

Декартовым произведением множеств $A$ и $B$ называется множество $A\times B=\{(x,y)\mid x\in A\wedge y\in B\},$то есть множество пар, в которых первый элемент берётся из множества $A$, а второй – из множества $B$.

Пример

для $A=\{1,3\}$ и $B=\{3,4,8\}$ получаем декартово произведение:

$$A\times B=\{(1,3),(1,4),(1,8),(3,3),(3,4),(3,8)\}.$$

Ссылка на оригинал

---

Соответствие множеств

Соответствие множеств

Соответсвтие множеств

Пусть $X$ и $Y$ — множества. Рассмотрим их декартово произведение:

$$X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}.$$

Это множество всех пар элементов этих множеств, взятых в указанном порядке. Его подмножества называют соответствиями между $X$ и $Y$.

Пример

$\{(1,2),(1,3)\}$ – соответствие между $X=\{1,2,\dots \}$ и $Y=\{2,3,\dots \}$.
(Многоточие означает, что могут быть и другие числа, в частности пустой набор.)

функцияиотображение

Ссылка на оригинал

---

Функция

Функция

Функция

Соответствие $f$ между множествами $X$ и $Y$ называется функцией из $X$ в $Y$, если: $\forall x\in X\exists !y\in Y:(x,y)\in f$

Обозначение: $\mathbf{f}:\mathbf{X}\to \mathbf{Y}$, произносится «$f$ из $X$ в $Y$».

Способы задания функции

Функция может быть задана перечислением пар $(x,y)$, формулой либо другими средствами. Частным случаем является таблица для конечных множеств:

$$\left(\begin{array}{lllll}1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 5& 2& 3& 4\end{array}\right)$$

Здесь наглядно видно, какой образ имеет каждый элемент из множества $\{1,2,3,4,5\}$.
Множества элементов первой и второй строки могут не совпадать. Если же они совпадают, то такая функция называется перестановкой.

функцияиотображение

Ссылка на оригинал

---

Свойства функций

Свойства функций

Def. Областью определения функции будем называть множество$D_f=\{x\in X\mid \exists y:(x,y)\in f\}$

Def. Множеством значений функции $f$ называется множество$E_f:Y\supset E_f=\{y\in Y\mid \exists x\in X:(x,y)\in f\}$

Def. Две функции $f,g:X\to Y$ равны, если совпадают их области определения, множества значений и выполнено:$\forall x\in X,f(x)=g(x),$(при условии, что $x$ принадлежит области определения).

Поиск множества значений при разных областях определения

Пусть $f:R\to R,f=x^2-5x+6$.

• $f(-3,4)=\left[-\frac{1}{4},30\right]$ (от значения в точке минимума до максимального из значений на концах интервала)
• $f(R)=\left[-\frac{1}{4},+\infty \right)$
• прообраз $f^{-1}([2,+\infty ))=(-\infty ,1]\cup [4,+\infty )$ (значения, меньшие двух, функция принимает на интервале $(1,4))$.
• $f^{-1}(\{-1\})=\varnothing$ (такое значение функция не принимает)

функцияиотображение

Ссылка на оригинал

---

Отображение

Отображение

Def. Если область определения функции $D_f=X$, то функция $f$ называется отображением.

Def. Отображение $e$ называется тождественным, если $\forall x\in X(e(x)=x)$т.е. если оно каждый элемент переводит в себя. Очевидно, что в этом случае область определения и множество значений совпадают с самим множеством $X$.

функцияиотображение

Ссылка на оригинал

---

Образ и прообраз

Образ и прообраз

Def. Пусть функция $f:X\to Y,A\subset X$. Множество $f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}=\{y\in Y\mid \exists x\in A:f(x)=y\}$ называется образом $A$ относительно функции $f$.
Если $f(A)=B$, то говорят, что $f$ отображает $A$ на $B$.
Обозначение: $\mathrm{Im}A$.

Def. Множество $f^{-1}(B)=\{x\mid f(x)\in B\}\subset Y$ называется прообразом множества $B$.

Дополнение

Аналогично для конкретного элемента $x\in X$ : элемент $y\in Y$ называется образом элемента $x\in X$, если $f(x)=y$. С другой стороны, $x$ называется прообразом элемента $y$. Всё множество прообразов для $y$, очевидно, это $f^{-1}(y)$.

Прообраз множества $B$ может быть пуст, если $B\cap \mathrm{Imf}=\varnothing$.

функцияиотображение

Ссылка на оригинал

---

Виды функций

Виды функций

Def 1. Функция $f:X\to Y$ называется инъективной (инъекция), если

$$\forall x_1,x_2\in X(x_1\ne x_2⟹f(x_1)\ne f(x_2))$$

Def. Функция $f:X\to Y$ называется сюръективной (сюръекция), если

$$\forall y\in Y\exists x\in X:f(x)=y$$

То есть $f(X)=\mathrm{Im}f$

Def. Если Функция инъективна и сюръективна, то она называется биективной (биекция).

Дополнение

Если множества равномощны (то есть элементы первого множества могут быть занумерованы с помощь второго и наоборот), то между ними можно построить биекцию
$\left|A\right|=\left|B\right|\iff bi(A,B)\ne \varnothing$

Примеры

$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$	Инъекция	Сюръекция	Биекция
$\sqrt{x^2}-5$	-	-	-
$x^3-x$	-	+	-

Пример 2

Рассмотрим пример, в котором участвуют множества $X$ и $Y$ разной природы. Дана функция:

$$f:M_{2\times 2}(\mathbb{R})\to \mathbb{R},f(A)=\det A.$$

Каждой матрице $2\times 2$ сопоставляется её определитель. Функция обладает свойством мультипликативности

$$\det (A\cdot B)=\det A\cdot \det B,\forall x\in D_f$$

Эта функция не инъективна (разные матрицы могут иметь одинаковый определитель), но сюръективна (каждое вещественное число может быть получено как $\det A$).

функцияиотображение

Ссылка на оригинал

---

Композиция функций

Композиция функций

Def. Пусть заданы функции $f:X\to Y,g:Y\to Z$. Композицией (суперпозицией) функций $g$ и $f$ называется функция $g\circ f:X\to Z$, заданная правилом: $g\circ f(x)=g(f(x))\forall x\in X$

Замечание

Множество $Y$, используемое в определениях $f$ и $g$ может не совпадать, а лишь пересекаться, поэтому область определения композиции может быть сужена.

Примеры

Пусть $f=x^2,g=\sqrt{x}$. Найти $f\circ f,g\circ g,f\circ g,g\circ f$.

$$\begin{array}{rl}& f\circ f=f\left(x^2\right)=x^4\\ & g\circ g=g(\sqrt{x})=\sqrt[4]{x}\\ & f\circ g=f(\sqrt{x})=(\sqrt{x}{)}^2=x\left(\text{ примечание }:D_f=[0,+\infty )\right);\\ & g\circ f=\sqrt{x^2}=|x|\end{array}$$

функцияиотображение

Ссылка на оригинал

---

Теорема 1. Ассоциативность композиции

Теорема. Ассоциативность композиции функций

Теорема

Операция композиции функций ассоциативна, то есть для
$h:X\to Y,g:Y\to Z,f:Z\to W$ выполнено: $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

Доказательство

Пусть $x\in X$:

$$(f\circ (g\circ h))(x)=f((g\circ h)(x))=f(g(h(x))),$$

и

$$((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ g)(h(x))=f(g(h(x))).$$

Таким образом, обе композиции совпадают.

Замечание

Если $f,g:X\to X$, то, как правило, $f\circ g\ne g\circ f$.

Замечание 2

Другой вариант записи — $(g\circ f)(x)=f(g(x))$ — не используется в данном курсе.

функцияиотображение

Ссылка на оригинал

---

Обратная функция

Обратная функция

Def. Пусть $f:X\to Y$. Функция $g:D_g\to X$ называется обратной к функции $f$, если область определения равна множеству значений функции ($D_g=E_f$) и для любого $x\in X$ из $y=f(x)$ следует $x=g(y)$. Иначе говоря: $f\circ g=e_Y,g\circ f=e_X$где $e_X,e_Y$ - тождественные отображения на $X$ и $Y$ (либо их подмножествах)

Замечание

Из определения тождественной функции $e$ следует, что для функций из $\mathbf{R}$ в $\mathbf{R}$ таковой является функция $f(x)=x$.

функцияиотображение

Ссылка на оригинал

---

Теорема 2. Единственность обратной функции

Теорема. Единственность обратной функции

Теорема

Если обратная функция существует, то она единственна.

Доказательство

Пусть $g_1$ и $g_2$ — обратные функции к $f$. Тогда

$g_2=g_2\circ e_Y=g_2\circ (f\circ g_1)=(g_2\circ f)\circ g_1=e_X\circ g_1=g_1$

функцияиотображение

Ссылка на оригинал

---

Теорема 3. Критерий обратимости функции

Теорема. Критерий обратимости функции

Теорема

Пусть для функции $f:X\to Y$ выполнено $Y=E_f$. Тогда $f$ обратима тогда и только тогда, когда она биективна.

Доказательство

Если $f$ обратима, то она сюръективна, и из равенства $f(x_1)=f(x_2)$ следует $x_1=x_2$, то есть $f$ инъективна. Следовательно, $f$ биективна.

Обратно. Если $f$ биективна, то существует взаимно-однозначное соответствие $x⟷y$. Определим функцию $g:Y\to X$ равенством $g(y)=x$. Тогда

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=x,(f\circ g)(y)=f(g(y))=y.$$

Таким образом, $f\circ g=e_Y$ и $g\circ f=e_X$, то есть $g$ является обратной к $f$

функцияиотображение

Ссылка на оригинал

---

По итогам лекции нужно знать

1. Понятия:

   • Функция
   • Отображение
   • Область определения, множество значений
   • Образ и прообраз множества
   • Тождественное отображение
   • Композиция функций
   • Обратная функция

2. Виды функций (инъекция, сюръекция, биекция)

3. Основные теоретические факты с доказательствами:

   • Ассоциативность композиции
   • Условие существования и единственность обратной функции
   • Критерий обратимости

функцияиотображение