Теорема. Корни комплексного числа в тригонометрической форме

Теорема

Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени $(n\in \mathbf{N},n\ne 1)$ из комплексного числа $z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, не равного нулю.

Доказательство

Предъявим эти числа.
Для определённости будем считать, что $\varphi \in [0,2\pi )$. Для начала вспомним, что при совершении обратной операции - возведения в степень - модуль числа возводится в неё же, а аргумент умножается на показатель этой степени. Это означает, что число $z_0=\sqrt[n]{z}\left(\cos \frac{\varphi }{n}+i\sin \frac{\varphi }{n}\right)$ точно будет одним из значений корня $n$-й степени из $z$.

Далее отметим, что тригонометрическая форма вида $|z|(\cos (\varphi +2\pi k)+i\sin (\varphi +2\pi k))$ представляет одно и то же число при любом целом $k$. Это поможет нам найти остальные значения корня.

Итак, будем подбирать другие значения.
Очевидно, что модуль корня из комплексного числа, являясь вещественным числом, у каждого потенциального корня должен быть одним и тем же. Поэтому меняться будет аргумент. На этот раз рассмотрим число $z$ с аргументом не $\varphi$, а $\varphi +2\pi$, и будем делить на $n$ именно этот аргумент. Тогда возьмём число $z_1=\sqrt[n]{z}\left(\cos \frac{\varphi +2\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi }{n}\right)$ и возведём его в $n$-ю степень:

$$\begin{array}{rl}{z}_1^n& =\left(\sqrt[n]{z}\right(\cos \frac{\varphi +2\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi }{n}){)}^n\\ & =(\sqrt[n]{z}{)}^n(\cos (n\cdot \frac{\varphi +2\pi }{n})+i\sin (n\cdot \frac{\varphi +2\pi }{n}))\\ & =|z|(\cos (\varphi +2\pi )+i\sin (\varphi +2\pi ))\\ & =|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=z\end{array}$$

Важно следить, чтобы аргументы корней из $z$ не совпадали, как у самого числа $z$. Если к числу $\frac{\varphi }{n}$ прибавить $\frac{2\pi }{n}$, мы не совершим полный оборот вокруг начала координат, а повернёмся на меньший угол при любом $n\in \mathbf{N}\backslash \{1\}$, следовательно, аргументы у $z_0$ и $z_1$ разные.

Будем продолжать подбирать значения корня $n$-й степени из $z$ по тому же принципу:

$$z_2=\sqrt[n]{z}\left(\cos \frac{\varphi +4\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +4\pi }{n}\right),z_3=\sqrt[n]{z}\left(\cos \frac{\varphi +6\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +6\pi }{n}\right)\text{ и так далее. }$$

При этом мы каждый раз будем смещать предыдущее значение корня на угол $\frac{2\pi }{n}$. Данный процесс конечен. Действительно, $z_{n-1}=\sqrt[n]{z}\left(\cos \frac{\varphi +2(n-1)\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2(n-1)\pi }{n}\right)$ является корнем из $z$, при этом не совпадает ни с одним из предыдущих (достаточно рассмотреть разность их аргументов и убедиться, что она меньше $2\pi$ ), но

$$\begin{array}{rl}{z}_n& =\sqrt[n]{z}(\cos \frac{\varphi +2n\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2n\pi }{n})\\ & =\sqrt[n]{z}\left(\cos \right(\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi n}{n})+i\sin (\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi n}{n}\left)\right)\\ & =\sqrt[n]{z}(\cos \frac{\varphi }{n}+i\sin \frac{\varphi }{n})=z_0\end{array}$$

Аналогично: $z_{n+1}=z_1,z_{n+2}=z_2$ и т.д.
Таким образом, мы получили набор чисел $z_0,z_1,\dots ,z_{n-1}$, различных и являющихся корнями $n$-й степени из $z$, и показали, что других не существует.

Теорема доказана.

Следствие 1. Формула поиска корней

Все значения корня $n$-й степени из комплексного числа $z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\ne 0$ можно найти по формуле:

$$z_k=\sqrt[n]{z}\left(\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n}\right)$$

Замечение

Поскольку значений корня из комплексного числа несколько, формула $\sqrt[n]{z_1}\cdot \sqrt[n]{z_2}=\sqrt[n]{z_1\cdot z_2}$ в общем случае неверна: $-1=i\cdot i=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1$, хотя можно подобрать значения корней так, чтобы она выполнялась.

Следствие 2.

Все значения корня $n$-й степени из $z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\ne 0$ лежат на окружности радиуса $\sqrt[n]{|z|}$ и являются вершинами правильного $n$-угольника.

Пример нахождения корня четвертой степени

Пусть $z=1+i$. Найдём корни четвёртой степени.
Сначала необходимо представить число в тригонометрической форме.
Мы видим, что $|z|=\sqrt{2},\arg z=\frac{\pi }{4}$, т.е. $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$.

$$\text{ Тогда }{z}_0=\sqrt[4]{\sqrt{2}}\left(\cos \frac{\pi }{4\cdot 4}+i\sin \frac{\pi }{4\cdot 4}\right)=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{\pi }{16}+i\sin \frac{\pi }{16}\right)$$

Далее, пользуясь формулой из следствия или прибавляя к $\arg z_0=\frac{\pi }{16}$ последовательно значение $\frac{2\pi }{n}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$, получим оставшиеся значения:

$$\begin{array}{rl}& z_1=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{\frac{\pi }{4}+2\pi \cdot 1}{4}+i\sin \frac{\frac{\pi }{4}+2\pi \cdot 1}{4}\right)=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{9\pi }{16}+i\sin \frac{9\pi }{16}\right)\\ & z_2=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{17\pi }{16}+i\sin \frac{17\pi }{16}\right)\\ & z_3=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{25\pi }{16}+i\sin \frac{25\pi }{16}\right)\end{array}$$

Изобразим эти числа на комплексной плоскости:

комплексныечисла