3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексное число на плоскости

Комплексное число $z=x+iy$ однозначно определяет точку на (комплексной) плоскости с координатами $(x,y)$. И наоборот: точка с координатами $(x,y)$ однозначно задаёт комплексное число $x+iy$.

Вещественные числа (как подмножество комплексных) также располагаются на этой плоскости, заполняя собой ось $Rez$.

Числа вида $iy$, не содержащие вещественной части и называющиеся чисто мнимыми заполняют ось $Imz$.

Сложение комплексные чисел на плоскости

Сложим два числа: $c=a+b=(4-3)+(3+2)i=1+5i$.
А теперь сложим соответствующие этим числам векторы:

Получаем, что $\overline{OA}+\overline{OB}=\overline{OC}$, где точка $C$ соответствует числу $c=a+b$.
Таким образом, сложение комплексных чисел и соответствующих им радиус-векторов согласовано.

Соответствие проекций радиус векторов

Также известно, что при сложении векторов их проекции складываются, а любой радиус-вектор может быть представлен суммой его проекций на оси. Проекции радиус-векторов соответствуют вещественным и мнимым частям изображаемых ими чисел, следовательно, как и следовало ожидать, складываются вещественные и мнимые части этих чисел.

Вычитание комплексных чисел на плоскости

$d=a-b=(4+3)+(3-2)i=7+i$
Изобразим процесс вычитания комплексных чисел на плоскости

комплексныечисла

Ссылка на оригинал

---

Тригонометрическая форма комплексного числа

Модуль и аргумент комплексного числа

Модуль комплексного числа

Def. Модулем комплексного числа $z$ называется длина соответствующего ему радиус-вектора. Обозначается $|z|=\left|\overline{O{M}_0}\right|=\sqrt{x_0^2+y_0^2}$.
#комплексныечисла

Ссылка на оригинал

Аргумент комплексного числа

Def. Аргументом комплексного $z$ числа называется величина угла, образованного соответствующим ему радиус-вектором и положительным направлением оси $Re$. Обозначается: $\mathrm{Argz}$.

Замечание

В отличие от модуля, аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, поскольку, если $\varphi$ - аргумент числа $z$, то $\varphi +2\pi k,k\in \mathbf{Z}$ также его аргументы.

Однако можно ввести понятие главного аргумента (обозначая его $\mathrm{argz}$ ), наложив ограничение на возможные принимаемые значения, например, $[0,2\pi )$ или $(-\pi ,\pi ]$. В этом случае аргумент будет определяться однозначно.

комплексныечисла

Ссылка на оригинал

---

Определение тригонометрической формы

Тригонометрическая форма комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть $z=x_0+i{y}_0$, обозначим на комплексной плоскости точку $M_0\left(x_0,y_0\right)$, изображающую данное число, радиус-вектор и угол, образованный с положительным направлением оси $Re$

Из прямоугольных треугольников видно, что

$$\begin{array}{rl}& \cos \varphi =\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=\frac{x_0}{|z|},\sin \varphi =\frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=\frac{y_0}{|z|}\\ & \\ & \Rightarrow z=x_0+i{y}_0=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi ).\end{array}$$

Такая форма записи называется тригонометрической формой комплексного числа.

Соответствие тригонометрической формы полярным координатам

Если алгебраическая форма, определяющаяся вещественной и мнимой частями комплексного числа $z=x+iy$, соответствует прямоугольным декартовым координатам точки $(x,y)$, то тригонометрической форме, определяемой модулем и аргументом, будут соответствовать полярные координаты изображающей комплексное число точки $(r,\varphi ),r=|z|$. Подобно полярным координатам, которые не определяются для центральной точки, аргумент числа 0 также не определён.

Однозначность аргумента

Из общего вида записи тригонометрической формы видно, что при $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$ нет никаких коэффициентов, перед ними стоит знак ” + ” и аргумент $\sin$ и $\cos$ один и тот же.

комплексныечисла

Ссылка на оригинал

---

Примеры работы с к. ч. в тригонометрической форме

Примеры работы с комплексным числом в тригонометрической форме

Только действительная часть

$z_1=i$

$|i|=1$, поскольку это число изображается точкой с координатами $(0,1)$.
$\arg i=\frac{\pi }{2}$, исходя из взаимного расположения оси и радиус-вектора.
Следовательно $i=1\cdot \left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$.

Действительная и мнимая часть

$z_2=1+i$
Из рисунка видно, что $\left|z_2\right|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2},\arg z_2=\frac{\pi }{4}$.
Таким образом, $1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$

Отрицательный аргумент

$z_3=1-i$
При нахождении тригонометрической формы важно определить, в какой четверти находится точка, изображающая его.

Здесь мы имеем дело с четвёртой четвертью. В ней аргумент отрицателен (если рассматривать диапазон ( $-\pi .\pi ]$ ). При этом $\left|z_3\right|=\left|z_2\right|$.

Повторяя рассуждения предыдущего примера, получаем: $1-i=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$

Тригонометрия и отрицательный аргумент

Если аргумент отрицателен, не нужно переписывать тригонометрическую форму, пользуясь свойствами тригонометрических функций. Следует оставить, как есть, поскольку угол определён однозначно и не должен меняться.

Нетабличный аргумент

$z_4=3+4i,z_5=-3-4i$. В данном случае получаем, что $\left|z_4\right|=\left|z_5\right|=5$, однако аргумент соответствует нетабличному значению величины угла.

Поиск нетабличного аргумента

Обратим внимание, что точка $M_4$ будет иметь координаты $(3,4)$, следовательно, она будет определять прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 , а, значит, $\mathrm{tg}{\varphi }_4=\frac{4}{3}$, т.е. сам аргумент $\mathrm{argz}{z}_4={\varphi }_4=\mathrm{arctg}\frac{4}{3}$

Аргумент $z_5$ будет отличаться от аргумента $z_4$ на $\pi$, т.е. на пол оборота, следовательно, $\arg z_5={\varphi }_5=\mathrm{arctg}\frac{4}{3}+\pi$

Итак, $\begin{array}{rl}3+4i& =5\left(\cos \right(\mathrm{arctg}\frac{4}{3})+i\sin (\mathrm{arctg}\frac{4}{3}\left)\right),\\ -3-4i& =5\left(\cos \right(\mathrm{arctg}\frac{4}{3}+\pi )+i\sin (\mathrm{arctg}\frac{4}{3}+\pi \left)\right).\end{array}$

Ограничения функции $\mathrm{arctg}x$

Важно помнить, что функция $\mathrm{arctg}x$ принимает значения в интервале $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, а это значения, соответствующие углам точек из I и IV четвертей. Поэтому аргументы чисел, изображаемых точками из II и III четвертей, следует выражать через аргументы чисел, изображаемых точками из IV и I четвертей соответственно, прибавлением к аргументу значения $\pi$.
Если коротко, то для чисел I и IV четвертей $\arg z=\mathrm{arctg}\frac{y}{x}$, а для чисел II и III четвертей $\arg z=\mathrm{arctg}\frac{y}{x}+\pi$.

комплексныечисла

Ссылка на оригинал

---

Свойства модуля комплексного числа

Свойства модуля комплексного числа

1. $\forall z\in \mathbf{C}|z|\ge 0$, причём $|z|=0⟺z=0$.

   Очевидно.

2. $|z|=|\bar{z}|$.

   Очевидно.

3. $\left|z_1{z}_2\right|=\left|z_1\right|\cdot \left|z_2\right|$

   Распишите самостоятельно в алгебраической форме.

4. $\left|z_1+z_2\right|\le \left|z_1\right|+\left|z_2\right|$

Доказательство

Воспользуемся тригонометрической формой комплексных чисел.

Пусть $z_1=r_1\left(\cos {\varphi }_1+i\sin {\varphi }_1\right),z_2=r_2\left(\cos {\varphi }_2+i\sin {\varphi }_2\right)$.
${\left|z_1\pm z_2\right|}^2={\left|r_1\left(\cos {\varphi }_1+i\sin {\varphi }_1\right)\pm r_2\left(\cos {\varphi }_2+i\sin {\varphi }_2\right)\right|}^2$
$={\left|\left(r_1\cos {\varphi }_1\pm r_2\cos {\varphi }_2\right)+i\left(r_1\sin {\varphi }_1\pm r_2\sin {\varphi }_2\right)\right|}^2$
$={\left(r_1\cos {\varphi }_1\pm r_2\cos {\varphi }_2\right)}^2+{\left(r_1\sin {\varphi }_1\pm r_2\sin {\varphi }_2\right)}^2$
$=r_1^2\left({\cos }^2{\varphi }_1+{\sin }^2{\varphi }_1\right)+r_2^2\left({\cos }^2{\varphi }_2+{\sin }^2{\varphi }_2\right)\pm 2r_1{r}_2\left(\cos {\varphi }_1\cos {\varphi }_2+\sin {\varphi }_1\sin {\varphi }_2\right)$
$=r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2\cos \left({\varphi }_1-{\varphi }_2\right)\le r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2={\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)}^2$
(здесь мы воспользовались свойством $\cos \varphi \le 1$ ).

Снимаем квадраты (а это правомерно, так как внутри сумма неотрицательных величин) и получаем требуемое.

Геометрический смысл:

Длина стороны треугольника меньше либо равна сумме длин двух других сторон

5. $\left|z_1-z_2\right|\ge \left|\left|z_1\right|-\left|z_2\right|\right|$

Доказательство

Применим доказанное свойство (4) к равенству $z_1=\left(z_1-z_2\right)+z_2$ :
$\left|z_1\right|\le \left|z_1-z_2\right|+\left|z_2\right|⟹\left|z_1-z_2\right|\ge \left|z_1\right|-\left|z_2\right|$
а заменив $z_1$ на $z_2$, получим:
$\left|z_2\right|\le \left|z_2-z_1\right|+\left|z_1\right|⟹\left|z_1-z_2\right|=\left|z_2-z_1\right|\ge \left|z_2\right|-\left|z_1\right|$
следовательно $\left|z_1-z_2\right|\ge \left|\left|z_1\right|-\left|z_2\right|\right|$

Геометрический смысл

Длина стороны треугольника больше либо равна модуля разности двух других сторон

комплексныечисла

Ссылка на оригинал

---

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

1. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

   При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы - складываются.

   $$\begin{array}{l}{z}_1{z}_2=r_1(\cos {\varphi }_1+i\sin {\varphi }_1)r_2(\cos {\varphi }_2+i\sin {\varphi }_2)\\ =r_1{r}_2(\cos {\varphi }_1\cos {\varphi }_2-\sin {\varphi }_1\sin {\varphi }_2+i(\cos {\varphi }_1\sin {\varphi }_2+\sin {\varphi }_1\cos {\varphi }_2\left)\right)\\ =r_1{r}_2(\cos ({\varphi }_1+{\varphi }_2)+i\sin ({\varphi }_1+{\varphi }_2)).\end{array}$$

   комплексныечисла

   Ссылка на оригинал

2. Теорема. Формула Муавра

   Формула Муавра

   $z^n=|z{|}^n(\cos (n\varphi )+i\sin (n\varphi )),n\in \mathbf{Z}$

   Доказательство

   Для $n\in \mathbf{N}$ следует из умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

   Для $n=0$ полагаем по определению $z^n=1$, тогда получаем:
   $z^0=|z{|}^0(\cos (0\varphi )+i\sin (0\varphi ))=1\cdot (1+0i)=1$

   Теперь пусть $n\in \mathbf{Z}$ и $n<0$. Тогда $n=-m,m\in \mathbf{N}$.

   $$\begin{array}{l}{z}^n=z^{-m}=\frac{1}{z^m}=\frac{1}{|z{|}^m(\cos (m\varphi )+i\sin (m\varphi ))}=|z{|}^{-m}\frac{\cos (m\varphi )-i\sin (m\varphi )}{{\cos }^2(m\varphi )+{\sin }^2(m\varphi )}=\\ =|z{|}^n(\cos (n\varphi )+i\sin (n\varphi ))\end{array}$$

   Что и требовалось получить.

   Ссылка на оригинал

3. Деление комплексного числа в тригонометрической форме

   При делении комплексных чисел в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются

   $$\begin{array}{l}\frac{z_1}{z_2}=z_1\cdot z_2^{-1}=r_1\left(\cos {\varphi }_1+i\sin {\varphi }_1\right)\cdot r_2^{-1}\left(\cos \left(-{\varphi }_2\right)+i\sin \left(-{\varphi }_2\right)\right)=\\ =\frac{r_1}{r_2}\left(\cos \left({\varphi }_1-{\varphi }_2\right)+i\sin \left({\varphi }_1-{\varphi }_2\right)\right)\end{array}$$

   комплексныечисла

   Ссылка на оригинал

4. Различные следствия для тригонометрической формы комплексного числа

   Рассмотрим квадрат произвольного комплексного числа с единичным модулем:

   • По формуле муавра: $$(\cos \varphi +i\sin \varphi {)}^2=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi$$
   • По формуле сокращённого умножения: $$(\cos \varphi +i\sin \varphi {)}^2={\cos }^2\varphi +2i\sin \varphi \cos \varphi -{\sin }^2\varphi$$ Как известно, комплексные числа равны, если равны их вещественные и мнимые части. Если их приравнять, получим две знакомые формулы для косинуса и синуса двойного угла.

   комплексныечисла

   Ссылка на оригинал

---

Извлечение корня из комплексного числа

Теорема. Корни комплексного числа в тригонометрической форме

Теорема

Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени $(n\in \mathbf{N},n\ne 1)$ из комплексного числа $z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, не равного нулю.

Доказательство

Предъявим эти числа.
Для определённости будем считать, что $\varphi \in [0,2\pi )$. Для начала вспомним, что при совершении обратной операции - возведения в степень - модуль числа возводится в неё же, а аргумент умножается на показатель этой степени. Это означает, что число $z_0=\sqrt[n]{z}\left(\cos \frac{\varphi }{n}+i\sin \frac{\varphi }{n}\right)$ точно будет одним из значений корня $n$-й степени из $z$.

Далее отметим, что тригонометрическая форма вида $|z|(\cos (\varphi +2\pi k)+i\sin (\varphi +2\pi k))$ представляет одно и то же число при любом целом $k$. Это поможет нам найти остальные значения корня.

Итак, будем подбирать другие значения.
Очевидно, что модуль корня из комплексного числа, являясь вещественным числом, у каждого потенциального корня должен быть одним и тем же. Поэтому меняться будет аргумент. На этот раз рассмотрим число $z$ с аргументом не $\varphi$, а $\varphi +2\pi$, и будем делить на $n$ именно этот аргумент. Тогда возьмём число $z_1=\sqrt[n]{z}\left(\cos \frac{\varphi +2\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi }{n}\right)$ и возведём его в $n$-ю степень:

$$\begin{array}{rl}{z}_1^n& =\left(\sqrt[n]{z}\right(\cos \frac{\varphi +2\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi }{n}){)}^n\\ & =(\sqrt[n]{z}{)}^n(\cos (n\cdot \frac{\varphi +2\pi }{n})+i\sin (n\cdot \frac{\varphi +2\pi }{n}))\\ & =|z|(\cos (\varphi +2\pi )+i\sin (\varphi +2\pi ))\\ & =|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=z\end{array}$$

Важно следить, чтобы аргументы корней из $z$ не совпадали, как у самого числа $z$. Если к числу $\frac{\varphi }{n}$ прибавить $\frac{2\pi }{n}$, мы не совершим полный оборот вокруг начала координат, а повернёмся на меньший угол при любом $n\in \mathbf{N}\backslash \{1\}$, следовательно, аргументы у $z_0$ и $z_1$ разные.

Будем продолжать подбирать значения корня $n$-й степени из $z$ по тому же принципу:

$$z_2=\sqrt[n]{z}\left(\cos \frac{\varphi +4\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +4\pi }{n}\right),z_3=\sqrt[n]{z}\left(\cos \frac{\varphi +6\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +6\pi }{n}\right)\text{ и так далее. }$$

При этом мы каждый раз будем смещать предыдущее значение корня на угол $\frac{2\pi }{n}$. Данный процесс конечен. Действительно, $z_{n-1}=\sqrt[n]{z}\left(\cos \frac{\varphi +2(n-1)\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2(n-1)\pi }{n}\right)$ является корнем из $z$, при этом не совпадает ни с одним из предыдущих (достаточно рассмотреть разность их аргументов и убедиться, что она меньше $2\pi$ ), но

$$\begin{array}{rl}{z}_n& =\sqrt[n]{z}(\cos \frac{\varphi +2n\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2n\pi }{n})\\ & =\sqrt[n]{z}\left(\cos \right(\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi n}{n})+i\sin (\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi n}{n}\left)\right)\\ & =\sqrt[n]{z}(\cos \frac{\varphi }{n}+i\sin \frac{\varphi }{n})=z_0\end{array}$$

Аналогично: $z_{n+1}=z_1,z_{n+2}=z_2$ и т.д.
Таким образом, мы получили набор чисел $z_0,z_1,\dots ,z_{n-1}$, различных и являющихся корнями $n$-й степени из $z$, и показали, что других не существует.

Теорема доказана.

Следствие 1. Формула поиска корней

Все значения корня $n$-й степени из комплексного числа $z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\ne 0$ можно найти по формуле:

$$z_k=\sqrt[n]{z}\left(\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n}\right)$$

Замечение

Поскольку значений корня из комплексного числа несколько, формула $\sqrt[n]{z_1}\cdot \sqrt[n]{z_2}=\sqrt[n]{z_1\cdot z_2}$ в общем случае неверна: $-1=i\cdot i=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1$, хотя можно подобрать значения корней так, чтобы она выполнялась.

Следствие 2.

Все значения корня $n$-й степени из $z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\ne 0$ лежат на окружности радиуса $\sqrt[n]{|z|}$ и являются вершинами правильного $n$-угольника.

Пример нахождения корня четвертой степени

Пусть $z=1+i$. Найдём корни четвёртой степени.
Сначала необходимо представить число в тригонометрической форме.
Мы видим, что $|z|=\sqrt{2},\arg z=\frac{\pi }{4}$, т.е. $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$.

$$\text{ Тогда }{z}_0=\sqrt[4]{\sqrt{2}}\left(\cos \frac{\pi }{4\cdot 4}+i\sin \frac{\pi }{4\cdot 4}\right)=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{\pi }{16}+i\sin \frac{\pi }{16}\right)$$

Далее, пользуясь формулой из следствия или прибавляя к $\arg z_0=\frac{\pi }{16}$ последовательно значение $\frac{2\pi }{n}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$, получим оставшиеся значения:

$$\begin{array}{rl}& z_1=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{\frac{\pi }{4}+2\pi \cdot 1}{4}+i\sin \frac{\frac{\pi }{4}+2\pi \cdot 1}{4}\right)=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{9\pi }{16}+i\sin \frac{9\pi }{16}\right)\\ & z_2=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{17\pi }{16}+i\sin \frac{17\pi }{16}\right)\\ & z_3=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{25\pi }{16}+i\sin \frac{25\pi }{16}\right)\end{array}$$

Изобразим эти числа на комплексной плоскости:

комплексныечисла

Ссылка на оригинал

---

Свойства корней из 1

Групповые свойства корней из единицы

Рассмотрим множество корней $n$-й степени из единицы $G(1{)}_n=\left\{z_0,z_1,\dots ,z_{n-1}\right\}$ и свойства, которыми оно обладает относительно операции умножения.
Для начала запишем его тригонометрическую форму: $1=\cos 0+i\sin 0$Будем считать, что корни пронумерованы согласно формуле из следствия 1 теоремы о корнях комплексного числа.

1. Найдём произведение двух корней

$$\begin{array}{l}{z}_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n},z_{\ell }=\cos \frac{2\pi \ell }{n}+i\sin \frac{2\pi \ell }{n},\\ z_k{z}_{\ell }=\cos \frac{2\pi (k+\ell )}{n}+i\sin \frac{2\pi (k+\ell )}{n}\in G(1{)}_n.\end{array}$$

Тем самым мы показали выполнение свойства замкнутости: произведение двух корней из 1 также является корнем из 1.

2. Выполнено свойство ассоциативности: $\forall k,l,m\in \{0,1,2,\dots ,n-1\}$

$$\left(z_k{z}_l\right)z_m=z_k\left(z_l{z}_m\right)$$

3. Выполнено свойство коммутативности: $\forall k,l\in \{0,1,2,\dots ,n-1\}$

$$z_k{z}_l=z_l{z}_k$$

4. $1\in G(1{)}_n$.

Более того $1=z_0=\cos \frac{0}{n}+i\sin \frac{0}{n}$. Это означает, что в $G(1{)}_n$ есть нейтральный элемент относительно операции умножения.

Свойство обратимости

Для любого $z_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}$ в $G(1{)}_n$ найдётся обратный элемент $z_s$, такой что:

$$z_k\cdot z_s=z_s\cdot z_k=1$$

Таким элементом будет $\cos \frac{2\pi (n-k)}{n}+i\sin \frac{2\pi (n-k)}{n}$
Действительно

$$\begin{array}{l}{z}_k\cdot z_{n-k}=\left(\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}\right)\left(\cos \frac{2\pi (n-k)}{n}+i\sin \frac{2\pi (n-k)}{n}\right)=\\ =\cos \frac{2\pi (n-k+k)}{n}+i\sin \frac{2\pi (n-k+k)}{n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1\end{array}$$

Дополнение

Данные пять условий называют групповым свойством корней $n$-й степени из 1 . Иными словами, $G(1{)}_n$ образует абелеву группу относительно умножения. Заметим, что относительно операции сложения это множество группой являться не будет. Подробнее эта тема рассказывается в лекциях 2го семестра

Замечание

Геометрически все корни из 1 располагаются на единичной окружности, деля её на $n$ равных частей, причём один из корней лежит на положительной части оси $\mathrm{Re}z$.

комплексныечисла

Ссылка на оригинал

---

Циклическое свойство степеней мнимой единицы

Циклическое свойство степеней мнимой единицы

Частным случаем группы корней из 1 являются целые степени числа $i$.

$$\begin{array}{l}{i}^0=1\\ i^1=i\\ i^2=-1\\ i^3=(-1)\cdot i=-i\\ i^4={\left(i^2\right)}^2=1\\ i^5=i\cdot i^4=i\end{array}$$

Таким образом: $i^{4k+r}=i^r$Множество элементов, порождённых числом $i:<i>=\{i,-1,-i,1\}$. Такая группа называется циклической.

комплексныечисла

Ссылка на оригинал

---

Задание множеств точек плоскости при помощи комплексных чисел

Задание множеств точек с помощью комплексного числа

Поскольку комплексные числа изображаются точками на плоскости, с их помощью можно задавать различные множества точек.

Примеры множеств точек

1. $|z|=r$ - уравнение окружности с центом в начале координат.
   Действительно, $z=x+iy$, следовательно, $|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}$.
   Указанное условие можно переписать в более привычном виде - как $x^2+y^2=r^2$ (множество точек не пусто при $r\ge 0$ ).
   Чтобы сместить центр окружности, нужно под модуль добавить фиксированное число $z_0$

$$\left|z-z_0\right|=r$$

Иначе говоря

$$|x+iy-(x_0+i{y}_0)|=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}$$

2. Забежим вперёд и дадим определение эллипса как множества точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных фиксированных точек (изображающих числа $z_1$ и $z_2$ ) есть число постоянное ( $r$ ):

   $$\left|z-z_1\right|+\left|z-z_2\right|=r$$

3. Условие $\left|z-z_1\right|=\left|z-z_2\right|$ задаёт прямую. В этом можно убедиться как алгебраически, раскрыв модуль по формуле, так и геометрически, прочитав это условие так: множество точек, равноудалённых от двух фиксированных точек плоскости. А это действительно прямая.

Подобных условий существует довольно много. Например, $\mathrm{argz}=\varphi$ задаёт луч без начальной точки, и так далее.

комплексныечисла множество

Ссылка на оригинал

---

По итогам лекции нужно знать:

1. Понятия:
   • Тригонометрическая форма комплексного числа
   • Модуль и аргумент
2. Геометрическая интерпретация комплексного числа
3. Свойства модуля комплексного числа
4. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме
5. Формула Муавра
6. Как находить все значения корня из комплексного числа
7. Расположение корней на плоскости
8. Групповые свойства корней из единицы
9. Циклическое свойство степеней мнимой единицы
10. Задание множеств точек с помощью комплексного числа
11. Основные теоретические факты с доказательствами

комплексныечисла