Примеры работы с комплексным числом в тригонометрической форме

Только действительная часть

$z_1=i$

$|i|=1$, поскольку это число изображается точкой с координатами $(0,1)$.
$\arg i=\frac{\pi }{2}$, исходя из взаимного расположения оси и радиус-вектора.
Следовательно $i=1\cdot \left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$.

Действительная и мнимая часть

$z_2=1+i$
Из рисунка видно, что $\left|z_2\right|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2},\arg z_2=\frac{\pi }{4}$.
Таким образом, $1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$

Отрицательный аргумент

$z_3=1-i$
При нахождении тригонометрической формы важно определить, в какой четверти находится точка, изображающая его.

Здесь мы имеем дело с четвёртой четвертью. В ней аргумент отрицателен (если рассматривать диапазон ( $-\pi .\pi ]$ ). При этом $\left|z_3\right|=\left|z_2\right|$.

Повторяя рассуждения предыдущего примера, получаем: $1-i=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$

Тригонометрия и отрицательный аргумент

Если аргумент отрицателен, не нужно переписывать тригонометрическую форму, пользуясь свойствами тригонометрических функций. Следует оставить, как есть, поскольку угол определён однозначно и не должен меняться.

Нетабличный аргумент

$z_4=3+4i,z_5=-3-4i$. В данном случае получаем, что $\left|z_4\right|=\left|z_5\right|=5$, однако аргумент соответствует нетабличному значению величины угла.

Поиск нетабличного аргумента

Обратим внимание, что точка $M_4$ будет иметь координаты $(3,4)$, следовательно, она будет определять прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 , а, значит, $\mathrm{tg}{\varphi }_4=\frac{4}{3}$, т.е. сам аргумент $\mathrm{argz}{z}_4={\varphi }_4=\mathrm{arctg}\frac{4}{3}$

Аргумент $z_5$ будет отличаться от аргумента $z_4$ на $\pi$, т.е. на пол оборота, следовательно, $\arg z_5={\varphi }_5=\mathrm{arctg}\frac{4}{3}+\pi$

Итак, $\begin{array}{rl}3+4i& =5\left(\cos \right(\mathrm{arctg}\frac{4}{3})+i\sin (\mathrm{arctg}\frac{4}{3}\left)\right),\\ -3-4i& =5\left(\cos \right(\mathrm{arctg}\frac{4}{3}+\pi )+i\sin (\mathrm{arctg}\frac{4}{3}+\pi \left)\right).\end{array}$

Ограничения функции $\mathrm{arctg}x$

Важно помнить, что функция $\mathrm{arctg}x$ принимает значения в интервале $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, а это значения, соответствующие углам точек из I и IV четвертей. Поэтому аргументы чисел, изображаемых точками из II и III четвертей, следует выражать через аргументы чисел, изображаемых точками из IV и I четвертей соответственно, прибавлением к аргументу значения $\pi$.
Если коротко, то для чисел I и IV четвертей $\arg z=\mathrm{arctg}\frac{y}{x}$, а для чисел II и III четвертей $\arg z=\mathrm{arctg}\frac{y}{x}+\pi$.

комплексныечисла