Теорема. Формула Муавра

Формула Муавра

$z^n=|z{|}^n(\cos (n\varphi )+i\sin (n\varphi )),n\in \mathbf{Z}$

Доказательство

Для $n\in \mathbf{N}$ следует из умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

Для $n=0$ полагаем по определению $z^n=1$, тогда получаем:
$z^0=|z{|}^0(\cos (0\varphi )+i\sin (0\varphi ))=1\cdot (1+0i)=1$

Теперь пусть $n\in \mathbf{Z}$ и $n<0$. Тогда $n=-m,m\in \mathbf{N}$.

$$\begin{array}{l}{z}^n=z^{-m}=\frac{1}{z^m}=\frac{1}{|z{|}^m(\cos (m\varphi )+i\sin (m\varphi ))}=|z{|}^{-m}\frac{\cos (m\varphi )-i\sin (m\varphi )}{{\cos }^2(m\varphi )+{\sin }^2(m\varphi )}=\\ =|z{|}^n(\cos (n\varphi )+i\sin (n\varphi ))\end{array}$$

Что и требовалось получить.