Групповые свойства корней из единицы

Рассмотрим множество корней $n$-й степени из единицы $G(1{)}_n=\left\{z_0,z_1,\dots ,z_{n-1}\right\}$ и свойства, которыми оно обладает относительно операции умножения.
Для начала запишем его тригонометрическую форму: $1=\cos 0+i\sin 0$Будем считать, что корни пронумерованы согласно формуле из следствия 1 теоремы о корнях комплексного числа.

1. Найдём произведение двух корней

$$\begin{array}{l}{z}_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n},z_{\ell }=\cos \frac{2\pi \ell }{n}+i\sin \frac{2\pi \ell }{n},\\ z_k{z}_{\ell }=\cos \frac{2\pi (k+\ell )}{n}+i\sin \frac{2\pi (k+\ell )}{n}\in G(1{)}_n.\end{array}$$

Тем самым мы показали выполнение свойства замкнутости: произведение двух корней из 1 также является корнем из 1.

2. Выполнено свойство ассоциативности: $\forall k,l,m\in \{0,1,2,\dots ,n-1\}$

$$\left(z_k{z}_l\right)z_m=z_k\left(z_l{z}_m\right)$$

3. Выполнено свойство коммутативности: $\forall k,l\in \{0,1,2,\dots ,n-1\}$

$$z_k{z}_l=z_l{z}_k$$

4. $1\in G(1{)}_n$.

Более того $1=z_0=\cos \frac{0}{n}+i\sin \frac{0}{n}$. Это означает, что в $G(1{)}_n$ есть нейтральный элемент относительно операции умножения.

Свойство обратимости

Для любого $z_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}$ в $G(1{)}_n$ найдётся обратный элемент $z_s$, такой что:

$$z_k\cdot z_s=z_s\cdot z_k=1$$

Таким элементом будет $\cos \frac{2\pi (n-k)}{n}+i\sin \frac{2\pi (n-k)}{n}$
Действительно

$$\begin{array}{l}{z}_k\cdot z_{n-k}=\left(\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}\right)\left(\cos \frac{2\pi (n-k)}{n}+i\sin \frac{2\pi (n-k)}{n}\right)=\\ =\cos \frac{2\pi (n-k+k)}{n}+i\sin \frac{2\pi (n-k+k)}{n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1\end{array}$$

Дополнение

Данные пять условий называют групповым свойством корней $n$-й степени из 1 . Иными словами, $G(1{)}_n$ образует абелеву группу относительно умножения. Заметим, что относительно операции сложения это множество группой являться не будет. Подробнее эта тема рассказывается в лекциях 2го семестра

Замечание

Геометрически все корни из 1 располагаются на единичной окружности, деля её на $n$ равных частей, причём один из корней лежит на положительной части оси $\mathrm{Re}z$.

комплексныечисла