Действия над комплексными числами в алгебраической форме

1. Сложение к. ч. в алгебраической форме:$z_1\pm z_2=x_1\pm x_2+i\left(y_1\pm y_2\right)$

2. Умножение к. ч. в алгебраической форме:$z_1\cdot z_2=\left(x_1{x}_2-y_1{y}_2\right)+i\left(x_1{y}_2+x_2{y}_1\right)$

3. Деление комплексных чисел в алгебраической форме удобно производить при помощи домножения числителя и знаменателя на сопряжённое к знаменателю, чтобы избавиться в нём от мнимой части: $\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-2i+i^2}{1^2-i^2}=\frac{-2i}{1+1}=-i$

4. Помимо домножения на сопряженное число, есть формула деления комплексного числа в алгебраической форме

   Формула деления комплексного числа

$$\begin{array}{c}z=\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}+i\cdot \frac{y_1{x}_2-x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}\end{array}$$

Пример работы с комплексным числом

Записать результат операции в алгебраической форме

$$\begin{array}{rl}& (2-5i{)}^2+\frac{5+3i}{1-i}=4-20i+(5i{)}^2+\frac{(5+3i)(1+i)}{1^2+(-1{)}^2}=4-20i+25i^2+\frac{(5-3)+(5+3)i}{2}=\\ & =-21-20i+1+4i=-20-16i.\end{array}$$

комплексныечисла