Комплексные числа

Комплексное число
Def. Комплексными числами $(z \in C)$ называются упорядоченные пары вещественных чисел $(z = (x, y), x, y \in R)$ со следующими операциями сложения и умножения:

$(x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$

$(x_{1}, y_{1}) \cdot (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} \cdot x_{2} - y_{1} \cdot y_{2}, x_{1} \cdot y_{2} + y_{1} \cdot x_{2})$

$x$ называется вещественной частью комплексного числа ( $R ez$ )

$y$ называется мнимой частью комплексного числа ( $Imz$ )

Равенство комплексных чисел

Комплексные числа равны, если равны их вещественные части и мнимые. Комплексные числа вида $(a, 0)$ содержат только вещественную часть, т.е. являются вещественными.

комплексныечисла
Ссылка на оригинал

Алгебраическая форма комплексного числа

Алгебраическая форма комплексного числа
Def. Обозначим число $(0, 1)$ через $i$ . Это число называется мнимой единицей.
Тогда, исходя из определения комплексного числа, имеем: $z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) \cdot (y, 0) = x + i y = R ez + i \cdot Im z$ Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической.

Проблема алгебраической записи

Комплексные числа можно определить непосредственно при помощи алгебраической формы, т.е. как числа вида $a + bi$ , но в этом случае могут возникнуть сложности с определением мнимой единицы, так как корнями уравнения $x^{2} + 1 = 0$ являются два числа: $\pm i$

комплексныечисла
Ссылка на оригинал

Сопряженные числа

Сопряжённое комплексное число

Сопряжённое комплексное число

Числа $z = x + i y$ и $\overset{z}{ˉ} = x - i y$ называются сопряжёнными.

Произведение сопряжённых комплексных чисел – вещественное число: $(x + i y) (x - i y) = x^{2} + i x y - i x y - i^{2} y^{2} = x^{2} + y^{2}$

комплексныечисла
Ссылка на оригинал

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение к. ч. в алгебраической форме: $z_{1} \pm z_{2} = x_{1} \pm x_{2} + i (y_{1} \pm y_{2})$

Умножение к. ч. в алгебраической форме: $z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) + i (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$

Деление комплексных чисел в алгебраической форме удобно производить при помощи домножения числителя и знаменателя на сопряжённое к знаменателю, чтобы избавиться в нём от мнимой части: $\frac{1 - i}{1 + i} = \frac{( 1 - i ) ( 1 - i )}{( 1 + i ) ( 1 - i )} = \frac{1 - 2 i + i ^{2}}{1 ^{2} - i ^{2}} = \frac{- 2 i}{1 + 1} = - i$

Помимо домножения на сопряженное число, есть формула деления комплексного числа в алгебраической форме

Формула деления комплексного числа

$z = \frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{2}^{2} + y _{2}^{2}} + i \cdot \frac{y _{1} x _{2} - x _{1} y _{2}}{x _{2}^{2} + y _{2}^{2}}$

Пример работы с комплексным числом

Записать результат операции в алгебраической форме
$(2 - 5 i)^{2} + \frac{5 + 3 i}{1 - i} = 4 - 20 i + (5 i)^{2} + \frac{( 5 + 3 i ) ( 1 + i )}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = 4 - 20 i + 25 i^{2} + \frac{( 5 - 3 ) + ( 5 + 3 ) i}{2} = = - 21 - 20 i + 1 + 4 i = - 20 - 16 i .$

комплексныечисла
Ссылка на оригинал

Свойства комплексного числа в алгебраической форме

Свойства комплексного числа в алгебраической форме
Рассмотри свойства комплексных чисел в алгебраической форме. Пусть $z = x + i y, z_{1} = x_{1} + i y_{1}, z_{2} = x_{2} + i y_{2}$ . Из определения следуют свойства $(\forall z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C)$ :

Коммутативность сложения: $z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1}$

Ассоциативность сложения: $(z + z_{1}) + z_{2} = z + (z_{1} + z_{2})$

Наличие нейтрального элемента относительно сложения: $z + 0 = 0 + z = z$

Обратимость относительно сложения: $\forall z \in C \exists z_{1} \in C (z + z_{1} = 0)$

Коммутативность умножения: $z_{1} \cdot z_{2} = z_{2} \cdot z_{1}$

Свойства 1-5 очевидны

Ассоциативность умножения: $(z \cdot z_{1}) \cdot z_{2} = z \cdot (z_{1} \cdot z_{2})$

Дистрибутивность: $(z_{1} + z_{2}) \cdot z = z_{1} \cdot z + z_{2} \cdot z z \cdot (z_{1} + z_{2}) = z \cdot z_{1} + z \cdot z_{2}$

Наличие нейтрального элемента относительно умножения: $z \cdot 1 = 1 \cdot z = z$

Cвойства 6-8 достаточно расписать в алгебраической форме

Обратимость относительно умножения: $\forall z \in C \ {0} \exists z_{1} \in C (z \cdot z_{1} = 1)$

Доказательство

Докажем свойство 9. Для этого просто предъявим обратное число.
Рассмотрим $\frac{1}{z}$ . Пользуясь формулой деления комплексного числа, получим:
$\frac{1}{z} = \frac{1 \cdot x + 0 \cdot y}{x ^{2} + y ^{2}} + i \cdot \frac{0 \cdot x - 1 \cdot y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} - i \cdot \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}$
Очевидно, что
$z \cdot \frac{1}{z} = (x + i y) \cdot (\frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} - i \cdot \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}) = \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} (x - i \cdot y) = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} = 1$

Алгебраическая система

Множество, на котором относительно введённых операций сложения и умножения выполнены свойства 1-9, называется полем.

комплексныечисла
Ссылка на оригинал

Свойства комплексного сопряжения

Свойства комплексного сопряжения

$\overline{\overset{z}{ˉ}} = z$ .

$z = \overset{z}{ˉ} ⟹ z \in R$ .

Очевидно, что в этом случае $y = Imz = 0$ .

$\overline{z_{1} + z_{2}} = \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}}$ .

$\overline{z_{1} \cdot z_{2}} = \overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}$ .

Действительно, $z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) + i \cdot (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$ , т.е. $\overline{z_{1} \cdot z_{2}} = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) - i \cdot (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$ .
С другой стороны: $\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} = (x_{1} - i y_{1}) (x_{2} - i y_{2}) = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) - i \cdot (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$ .

$z \cdot \overset{z}{ˉ} \in R$

комплексныечисла
Ссылка на оригинал

Извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме

Теорема. Формула извлечения квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме

Формула для извлечения квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме

$z = a + bi, z = x + i y ⟺ a = x^{2} - y^{2}, b = 2 x y$
Без доказательства

Пример

Рассмотрим $3 - 4 i = x + i y$ , тогда
$x^{2} - y^{2} = 3, 2 x y = - 4$
отсюда $y = - \frac{2}{x}$ , получаем уравнение
$x^{2} - \frac{4}{x ^{2}} = 3$
далее биквадратное уравнение:
$x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0 x^{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$
По определению вещественной части комплексного числа, $x \in R$ , следовательно, $x^{2} = 4$ , $x = \pm 2$ , откуда $y = \mp 1$ .

Таким образом, $3 - 4 i = x + i y = \pm (2 - i)$ .

Возводя в квадрат полученный результат, убеждаемся в получении $3 - 4 i$ .

комплексныечисла
Ссылка на оригинал

Теорема 1. Извлечение корня из комплексного числа

Теорема. Извлечение корня из комплексного числа

Теорема

Извлечение квадратного корня из комплексного числа можно осуществить по формуле:
$a + bi = \pm (\frac{a ^{2} + b ^{2} + a}{2} + i \cdot sign b \cdot \frac{a ^{2} + b ^{2} - a}{2})$
где функция $sign (x) ($ знак $)$ принимает значение 1 при $x \geq 0, - 1$ при $x < 0$ .

Без доказательства.

Пример

$3 - 4 i = \pm \frac{9 + 16 + 3}{2} - i \cdot \frac{9 + 16 - 3}{2} = \pm (4 - i 1) = \pm (2 - i)$

комплексныечисла
Ссылка на оригинал

По итогам лекции нужно знать:

комплексныечисла

etuMath

Проводник

2. Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексные числа

Комплексное число

Алгебраическая форма комплексного числа

Алгебраическая форма комплексного числа

Сопряженные числа

Сопряжённое комплексное число

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Свойства комплексного числа в алгебраической форме

Свойства комплексного числа в алгебраической форме

Свойства комплексного сопряжения

Свойства комплексного сопряжения

Извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме

Теорема. Формула извлечения квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме

Теорема 1. Извлечение корня из комплексного числа

Теорема. Извлечение корня из комплексного числа

По итогам лекции нужно знать:

Вид графа

Оглавление

Обратные ссылки