Задание множеств точек с помощью комплексного числа

Поскольку комплексные числа изображаются точками на плоскости, с их помощью можно задавать различные множества точек.

Примеры множеств точек

1. $|z|=r$ - уравнение окружности с центом в начале координат.
   Действительно, $z=x+iy$, следовательно, $|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}$.
   Указанное условие можно переписать в более привычном виде - как $x^2+y^2=r^2$ (множество точек не пусто при $r\ge 0$ ).
   Чтобы сместить центр окружности, нужно под модуль добавить фиксированное число $z_0$

$$\left|z-z_0\right|=r$$

Иначе говоря

$$|x+iy-(x_0+i{y}_0)|=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}$$

2. Забежим вперёд и дадим определение эллипса как множества точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных фиксированных точек (изображающих числа $z_1$ и $z_2$ ) есть число постоянное ( $r$ ):

   $$\left|z-z_1\right|+\left|z-z_2\right|=r$$

3. Условие $\left|z-z_1\right|=\left|z-z_2\right|$ задаёт прямую. В этом можно убедиться как алгебраически, раскрыв модуль по формуле, так и геометрически, прочитав это условие так: множество точек, равноудалённых от двух фиксированных точек плоскости. А это действительно прямая.

Подобных условий существует довольно много. Например, $\mathrm{argz}=\varphi$ задаёт луч без начальной точки, и так далее.

комплексныечисла множество