Свойства многочленов

многочлены определение аиг дмити

Алгебраическая структура множества многочленов

Обозначим множество многочленов от переменной $x$ с вещественными коэффициентами как $\mathbb{R}[x]$.
Данное множество относительно операций сложения и умножения образует коммутативное кольцо с единицей ¹.

Пусть $f,g,h\in \mathbb{R}[x]$ – произвольные многочлены:
$f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i,g(x)={\sum }_{j=0}^m{b}_j{x}^j,h(x)={\sum }_{k=0}^l{c}_k{x}^k$

Аксиомы сложения

1. Замкнутость: Сумма двух многочленов является многочленом с вещественными коэффициентами.
   $f+g\in \mathbb{R}[x]$
2. Коммутативность: Порядок слагаемых не важен.
   $f+g=g+f$
3. Ассоциативность: Порядок выполнения операций сложения не важен.
   $f+(g+h)=(f+g)+h$
4. Нейтральный элемент (нуль): Существует нулевой многочлен $0$ (все коэффициенты равны 0), такой что:
   $f+0=f$
5. Обратимость (противоположный элемент): Для каждого $f$ существует многочлен $-f$ (с коэффициентами, противоположными коэффициентам $f$), такой что:
   $f+(-f)=0$

Аксиомы умножения

1. Замкнутость: Произведение многочленов является многочленом. $$f\cdot g\in \mathbb{R}[x]$$
2. Коммутативность: $$f\cdot g=g\cdot f$$
3. Ассоциативность:

$$f\cdot (g\cdot h)=(f\cdot g)\cdot h$$

Доказательство ассоциативности умножения

Требуется доказать, что $f\cdot (g\cdot h)=(f\cdot g)\cdot h$.

1. Рассмотрим произведение $g\cdot h$:

   $$g\cdot h=\left(\sum _{j=0}^m{b}_j{x}^j\right)\left(\sum _{k=0}^l{c}_k{x}^k\right)=\sum _{p=0}^{m+l}\left(\sum _{j+k=p}{b}_j{c}_k\right)x^p$$

2. Теперь умножим $f$ на результат $(g\cdot h)$:

   $$f\cdot (g\cdot h)=\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i\right)\left(\sum _{p=0}^{m+l}\left(\sum _{j+k=p}{b}_j{c}_k\right)x^p\right)$$

   Коэффициент при произвольной степени $x^S$ в этом произведении будет суммой всех слагаемых вида $a_i(b_j{c}_k)$, где $i+j+k=S$.
   То есть:

   $$f\cdot (g\cdot h)=\sum _{S=0}^{n+m+l}\left(\sum _{i+j+k=S}{a}_i{b}_j{c}_k\right)x^S$$

3. Аналогично распишем левую часть, начиная с $(f\cdot g)$:

   $$f\cdot g=\sum _{r=0}^{n+m}\left(\sum _{i+j=r}{a}_i{b}_j\right)x^r$$

   Умножая на $h$:

   $$(f\cdot g)\cdot h=\sum _{S=0}^{n+m+l}\left(\sum _{r+k=S}\left(\sum _{i+j=r}{a}_i{b}_j\right)c_k\right)x^S$$

   В силу ассоциативности умножения вещественных чисел ($a_i(b_j{c}_k)=(a_i{b}_j)c_k$), коэффициенты при одинаковых степенях $x$ совпадают:

   $$\sum _{i+j+k=S}{a}_i{b}_j{c}_k=\sum _{i+j+k=S}(a_i{b}_j)c_k$$

   Следовательно, многочлены равны.

4. Нейтральный элемент (единица): Существует многочлен $1$ (константа 1), такой что: $$f\cdot 1=f$$

Footnotes

1. Тема второго семестра АиГ ↩