Свойства транспонированной матрицы

Перечислим следующие свойства транспонированной матрицы:

1. $A\in M_{m\times n}[P]⟹A^T\in M_{n\times m}[P]$

   Следует из определения

2. ${\left(A^T\right)}^T=A$

   Следует из определения

3. $(A+B{)}^T=A^T+B^T$

   Следует из определения

4. $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

Доказательство

Пусть даны матрицы $A_{m\times n},B_{n\times p}$. Рассмотрим матрицы $D=AB$ и $F=B^T{A}^T$.
$D$ имеет размер $m\times p$. Далее $A_{m\times n},B_{n\times p}⟹A_{n\times m}^T,B_{p\times n}^T$, следовательно, ${\left(B^T{A}^T\right)}_{p\times m}$.
При этом $d_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj},d_{ij}^T={\sum }_{k=1}^n{a}_{jk}{b}_{ki}$ (так как строки и столбцы поменялись местами).
Далее, $f_{ij}={\sum }_{k=1}^n{b}_{ik}^T{a}_{kj}^T={\sum }_{k=1}^n{b}_{ki}{a}_{jk}$.
Таким образом, $d_{ij}^T=f_{ij}$, т.е. $D^T=F$ или $(AB{)}^T=B^T{A}^T$.

матрица