Матрицы и действия с ними

Матрица

Матрица

Матрицей размера $m \times n$ называется прямоугольная таблица чисел $a_{ij} (i = 1, \dots, m; j =$ $1, \dots, n)$ , принадлежащих некоторому множеству, состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов. В обозначении $a_{ij}$ индекс $i$ отвечает за номер строки, индекс $j$ - за номер столбца. Общий вид матрицы:
$a_{11} a_{21} a_{31} \dots a_{m 1} a_{12} a_{22} a_{32} a_{m 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} a_{3 n} a_{mn}$

Примеры

Множество, которому принадлежат элементы матрицы, может быть произвольным:

Множество матриц размера $2 \times 3$ с комплексными элементами

$(i - 1 - 2 3 + 2 i 4 - i - i) \in M_{2 \times 3} [C]$

Множество матриц размера $3 \times 3$ с вещественными элементами

$- 2.5 e^{2} 1 - 2 34 π 0 - 4 \in M_{3 \times 3} [R]$

При помощи матриц могу быть заданы другие объекты. Например, коэффициенты системы уравнений

$x - 2 y + 3 t = - 4 2 x + 5 y - z + t = 17,$
Записываются в виде матрицы
$(12 - 2 5 0 - 1 31)$

матрица
Ссылка на оригинал

Виды матриц

Виды матриц
Def. Если число строк матрицы равно числу столбцов ( $m = n$ ), то она называется квадратной. $(0 - 1 43)$

Def. Если $m = 1$ , то Матрица называется строкой длины $n$ . $(- 3 - 5 \dots 3)$

Def. Если $n = 1$ , то Матрица называется столбцом высоты $m$ . $- 6 01 \dots 3$

Def. Число можно рассматривать как матрицу размера $1 \times 1$ .

Def. Нулевой называется Матрица (любого размера), состоящая из одних нулей.
Будем обозначать её как $Θ$ , чтобы не путать с числом 0 .

Def. Квадратная Матрица, содержащая ненулевые элементы только на главной диагонали, называется диагональной. $a_{11} 0 \dots 0 0 a_{22} 0 \dots \dots \dots 00 a_{nn}$

Def. Диагональная Матрица, у которой на главной диагонали расположены единицы, называется единичной и обозначается как $E$ : $(1001), 100010001, 100 \dots 0 01000010 \dots \dots \dots \dots 0001$

матрица
Ссылка на оригинал

Подматрица

Подматрица
Def. Если выбрать $r$ строк $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{r}$ и $s$ столбцов $j_{1}, j_{2}, \dots j_{s}$ , оставив только их общие элементы, мы получим подматрицу (или субматрицу) $A^{'}$ размера $r \times s$ .

Пример

Например, для $i = 2, 3, 5; j = 1, 3$ матрицы
$A = 1 - 1 0 - 3 2 07824 48 - 6 95 54 - 2 11 - 4 - 1 1360$
подматрица будет равна
$A^{'} = - 1 02 8 - 6 5$

матрица
Ссылка на оригинал

Действия над матрицами

Действия над матрицами

Сложение
Определено только для матриц одного размера. Осуществляется покомпонентно: $A + B = a_{11} a_{21} \dots a_{m 1} a_{12} a_{22} a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} a_{mn} + b_{11} b_{21} \dots b_{m 1} b_{12} b_{22} b_{m 2} \dots \dots \dots b_{1 n} b_{2 n} b_{mn} =$

$= a_{11} + b_{11} a_{21} + b_{21} \dots a_{m 1} + b_{m 1} a_{12} + b_{12} a_{22} + b_{22} a_{m 2} + b_{m 2} \dots a_{1 n} + b_{1 n} \dots a_{2 n} + b_{2 n} \dots a_{mn} + b_{mn}$

Умножение на число
Определено для матриц произвольного размера с элементами из некоторого числового множества $K$ (которое образует Поле). Умножение происходит на числа из этого же множества для каждого элемента матрицы.
Пусть $α \in K, A \in M_{m \times n} [K]$ . Тогда

$α A = α a_{11} a_{21} \dots a_{m 1} a_{12} a_{22} a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} a_{mn} = α a_{11} α a_{21} \dots α a_{m 1} α a_{12} α a_{22} α a_{m 2} \dots α a_{1 n} \dots α a_{2 n} \dots α a_{mn}$

Пример

Пусть $A = (1321), B = (2 - 1 - 2 1)$

Тогда $2 A + 3 B = (2 + 6 6 - 3 4 - 6 2 + 3) = (83 - 2 5)$

матрица
Ссылка на оригинал

Свойства действий над матрицами

Свойства действий над матрицами

Коммутативность по сложению

$\forall A, B \in M_{m \times n} [K] (A + B = B + A)$

Ассоциативность по сложению

$\forall A, B, C \in M_{m \times n} [K] ((A + B) + C = A + (B + C))$

Наличие нейтрального элемента

$\exists θ \in M_{m \times n} [K] \forall A \in M_{m \times n} [K] (A + Θ = Θ + A)$

Обратимость по сложению

$\forall A \in M_{m \times n} [K] \exists D \in M_{m \times n} [K] (A + D = D + A = Θ)$

$\forall A, B \in M_{m \times n} [K] \forall α \in K (α (A + B) = α A + α B)$

$\forall A \in M_{m \times n} [K] \forall α, β \in K ((α + β) A = α A + β A)$

$\forall A \in M_{m \times n} [K] \forall α, β \in K (α (β A) = (α β) A)$

$\forall A \in M_{m \times n} [K] (1 \cdot A = A)$

Алгебраическая система

Выполнение свойств 1-4 свидетельствует о том, что множество матриц одного размера образует абелеву группу по сложению.
Выполнение свойств 1-8 свидетельствует о том, что множество матриц одного размера с двумя введёнными операциями образует линейное пространство.

Справедливость данных свойств следует из свойств числового поля, элементы которого образуют матрицы и используются в качестве коэффициентов при умножении, поскольку всё сводится к сложению и умножению элементов поля.

матрица
Ссылка на оригинал

Линейная комбинация

Линейная комбинация матриц
Def. Линейной комбинацией матриц $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ будем называть их сумму с некоторыми коэффициентами: $α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n}$

Тогда систему уравнений можно представить в виде линейной комбинации столбцов $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ :
$⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \dots a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{mn} x_{n} = b_{m}$ $a_{11} a_{21} \dots a_{m 1} x_{1} + a_{12} a_{22} \dots a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{1 n} a_{2 n} \dots a_{mn} x_{n} = b_{1} b_{2} \dots b_{m} .$
Таким образом, решение системы уравнений с $n$ неизвестными подразумевает нахождение значений для $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ при которых линейная комбинация матриц-столбцов равна столбцу свободных членов $B$ .

матрица
Ссылка на оригинал

Умножение матриц

Операция умножения матриц
Даны строка $A_{1}$ длины $n$ и столбец $B_{1}$ высоты $n$ .
Def. Произведением строки $A_{1}$ и столбца $B_{1}$ называется число, равное сумме произведений их соответствующих элементов, т.е. $A_{1} B_{1} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n}$
Например:
$A_{1} \cdot B_{1} = (1234) \cdot 5678 = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot 8 = 5 + 12 + 21 + 32 = 70$
Пусть теперь даны две матрицы $A_{m \times k}, B_{k \times n}$ , т.е. количество столбцов первой совпадает с количеством строк второй:
$a_{11} a_{21} \dots a_{m 1} a_{12} a_{22} a_{m 2} \dots a_{1 k} \dots a_{2 k} \dots a_{mk}, b_{11} b_{21} \dots b_{k 1} b_{12} b_{22} b_{m 2} \dots b_{1 n} \dots b_{2 n} \dots b_{kn} .$
Обозначим строки первой матрицы через $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ , а столбцы второй - через $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ . Будем последовательно умножать каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй, при этом
$A_{1} \cdot B_{1} = c_{11}, A_{1} \cdot B_{2} = c_{12}, \dots, A_{s} \cdot B_{t} = i = 1 \sum k a_{s i} b_{i t} = c_{s t}, \dots, A_{m} \cdot B_{n} = c_{mn}$
Def. Произведением матриц $A_{m \times k}$ и $B_{k \times n}$ называется матрица $C_{m \times n}$ (т.е. матрица размера $m \times n$ ), элемент $c_{ij}$ которой равен произведению $i -$ й строки матрицы $A$ на $j$ -й столбец матрицы $B$ для любых $i \in {1, 2, \dots, m}, j \in {1, 2, \dots, n}$ .

Замечание

Обратите внимание, что вследствие размеров матриц $A$ и $B$ в общем случае умножение $B \cdot A$ невозможно, поскольку матрицы перестают быть подходящими. При этом для квадратных матриц одного размера возможны оба произведения $A B$ и $B A$ .

Примеры

Если $A = (- 1 2 3 - 1 24), B = 1 - 3 4 321$
$A \cdot B = (- 2 21 58)$
произведение $B \cdot A$ невозможно.

Пусть $D = (- 2 1 5 - 1), H = (1 - 2 32)$
$DH = (- 12 3 41), HD = (16 2 - 12)$
при этом $DH \neq = HD$

матрица
Ссылка на оригинал

Свойства умножения матриц

Свойства умножения матриц
Пусть даны произвольные матрицы $A, B, C$ , которые мы будем считать подходящими для умножения, а также число $α$ из поля.

$α (A B) = A (α B) = (α A) B$

Дистрибутивность

$A (B + C) = A B + A C$ ,
$(A + B) C = A C + BC$ .

Доказательство

Докажем второе равенство. Пусть $A$ и $B$ имеют размер $m \times n, C$ имеет размер $n \times l$ , т.е.
$A = a_{11} a_{21} \dots a_{m 1} a_{12} a_{22} a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} a_{mn}, B = b_{11} b_{21} \dots b_{m 1} b_{12} b_{22} b_{m 2} \dots \dots \dots b_{1 n} b_{2 n} b_{mn}, C = c_{11} c_{21} \dots c_{n 1} c_{12} c_{22} c_{n 2} \dots \dots \dots c_{1 l} c_{2 l} c_{n l}$

Тогда $D = (A + B) C = a_{11} + b_{11} a_{21} + b_{21} \dots a_{m 1} + b_{m 1} a_{12} + b_{12} a_{22} + b_{22} a_{m 2} + b_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} + b_{1 n} a_{2 n} + b_{2 n} a_{mn} + b_{mn} \cdot c_{11} c_{21} \dots c_{n 1} c_{12} c_{22} c_{n 2} \dots c_{1 l} \dots c_{2 l} \dots c_{n l}$
При этом $d_{ij} = (a_{i 1} + b_{i 1} a_{i 2} + b_{i 2} \dots a_{in} + b_{in}) \cdot c_{1 j} c_{2 j} \dots c_{nj} =$
$(a_{i 1} + b_{i 1}) c_{1 j} + \dots + (a_{in} + b_{in}) c_{nj} = (a_{i 1} c_{1 j} + \dots + a_{in} c_{nj}) + (b_{i 1} c_{1 j} + \dots + b_{in} c_{nj}) = (a_{i 1} a_{i 2} \dots a_{in}) \cdot c_{1 j} c_{2 j} \dots c_{nj} + (b_{i 1} b_{i 2} \dots b_{in}) \cdot c_{1 j} c_{2 j} \dots c_{nj} = A C + BC .$

Ассоциативность умножения: $A (BC) = (A B) C$ .

Единичная матрица $E$ обладает следующим свойством: для любых подходящих матриц $A, B$ выполнено: $A E = A, EB = B$ .

Необходимо учесть, что для прямоугольной матрицы $A_{m \times n}$ матрицы $E$ слева и справа разные: для того, чтобы умножение было возможно, в первом случае это будет $E_{m \times m}$ , во втором - $E_{n \times n}$ .

$Θ_{k \times n} \cdot A_{n \times m} = Θ_{k \times m}, B_{l \times p} \cdot Θ_{p \times s} = Θ_{l \times s}$ для нулевых матриц $Θ$ .

Подматрица матрицы $A B$ , составленная из строк $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{p}$ и столбцов $j_{1}, j_{2}, \dots, j_{s}$ , представляет собой произведение подматрицы матрицы $A$ , составленной из строк $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{p}$ , и подматрицы матрицы $B$ , составленной из столбцов $j_{1}, j_{2}, \dots, j_{s}$ .

Если взять свойства 1-4 сложения матриц и добавить к ним свойства 2,3,4 из данного блока, то мы получим, что множество квадратных матриц одного размера образует кольцо (некоммутативное кольцо с единицей).

матрица
Ссылка на оригинал

Транспонирование матриц

Транспонированная матрица
Def. Матрица $A^{T}$ называется транспонированной по отношению к матрице $A$ , если строки матрицы $A$ образуют столбцы матрицы $A^{T}$ и наоборот (с сохранением их индексов), т.е. $a_{ij}^{T} = a_{ji}$ .

матрица
Ссылка на оригинал

Свойства транспонированной матрицы

Свойства транспонированной матрицы
Перечислим следующие свойства транспонированной матрицы:

$A \in M_{m \times n} [P] ⟹ A^{T} \in M_{n \times m} [P]$

Следует из определения

$(A^{T})^{T} = A$

Следует из определения

$(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$

Следует из определения

$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$

Доказательство

Пусть даны матрицы $A_{m \times n}, B_{n \times p}$ . Рассмотрим матрицы $D = A B$ и $F = B^{T} A^{T}$ .
$D$ имеет размер $m \times p$ . Далее $A_{m \times n}, B_{n \times p} ⟹ A_{n \times m}^{T}, B_{p \times n}^{T}$ , следовательно, $(B^{T} A^{T})_{p \times m}$ .
При этом $d_{ij} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{kj}, d_{ij}^{T} = \sum_{k = 1}^{n} a_{jk} b_{ki}$ (так как строки и столбцы поменялись местами).
Далее, $f_{ij} = \sum_{k = 1}^{n} b_{ik}^{T} a_{kj}^{T} = \sum_{k = 1}^{n} b_{ki} a_{jk}$ .
Таким образом, $d_{ij}^{T} = f_{ij}$ , т.е. $D^{T} = F$ или $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ .

матрица
Ссылка на оригинал

Правило выражения переменных

Правило выражения переменных в матричном виде
У матриц и систем линейных уравнений есть связь.
Пусть даны переменные $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{m}$ , которые выражаются через переменные $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ :
$⎩ ⎨ ⎧ y_{1} = a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} y_{2} = a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} \dots y_{m} = a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{mn} x_{n}$
Или в матричной форме:
$y_{1} y_{2} \dots y_{m} = a_{11} a_{21} \dots a_{m 1} a_{12} a_{22} a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} a_{mn} \cdot x_{1} x_{2} \dots x_{n}, т . е . Y = A \cdot X$
И пусть переменные $x_{1}, \dots, x_{n}$ в свою очередь выражаются через переменные $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{s}$ :
$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = b_{11} t_{1} + b_{12} t_{2} + \dots + b_{1 n} t_{s} x_{2} = b_{21} t_{1} + b_{22} t_{2} + \dots + b_{2 n} t_{s} \dots x_{m} = b_{m 1} t_{1} + b_{m 2} t_{2} + \dots + b_{mn} t_{s}$
В матричном виде:
$x_{1} x_{2} \dots x_{n} = b_{11} b_{21} \dots b_{m 1} b_{12} b_{22} b_{m 2} \dots b_{1 s} \dots b_{2 s} \dots b_{m s} \cdot t_{1} t_{2} \dots t_{s}, т .e. X = B \cdot T$
Подставим выражение столбца $X$ в первое равенство и получим:
$Y = A \cdot B \cdot T = (A B) T$ ,
что даёт нам правило выражения первых переменных через последние.

матрица
Ссылка на оригинал

Элементарные преобразования матриц

Элементарные преобразования матриц
Def. Элементарными преобразованиями матриц будем называть преобразования одного из следующих типов:

Перестановка параллельных рядов (строк или столбцов).

$a_{11} \dots a_{i 1} \dots a_{k 1} \dots a_{m 1} a_{12} a_{i 2} a_{k 2} a_{m 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{in} a_{kn} a_{mn} ⟶ a_{11} \dots a_{k 1} \dots a_{i 1} \dots a_{m 1} a_{12} a_{k 2} a_{i 2} a_{m 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{kn} a_{in} a_{mn}$

Умножение ряда (строки или столбца) на число $λ \neq = 0$ .

$a_{11} a_{21} a_{31} \dots a_{m 1} \dots \dots \dots \dots a_{1 j} a_{2 j} a_{3 j} a_{mj} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} a_{3 n} a_{mn} ⟶ a_{11} a_{21} a_{31} \dots a_{m 1} \dots \dots \dots \dots λ a_{1 j} λ a_{2 j} λ a_{3 j} λ a_{mj} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} a_{3 n} a_{mn}$

Прибавление к элементам одной строки (столбца) элементов другой строки (или столбца) умноженных на заданный элемент из поля

$a_{11} \dots a_{i 1} \dots a_{k 1} \dots a_{m 1} a_{12} a_{i 2} a_{k 2} a_{m 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{in} a_{kn} a_{mn} ⟶ a_{11} \dots a_{i 1} + λ a_{k 1} \dots a_{k 1} \dots a_{m 1} a_{12} a_{i 2} + λ a_{k 2} a_{k 2} a_{m 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{in} + λ a_{kn} a_{kn} a_{mn}$

Обратите внимание

Каждое такое преобразование можно представить как умножение на матрицу специального вида. Как известно, умножение на единичную матрицу не меняет исходную. Каждая строка (или столбец) остаётся неизменной, поскольку строка (столбец) матрицы произведения будет составляться из тех же элементов, умноженных на 1, в сумме с другими элементами, умноженными на ноль. Это значит, что в матрице $E$ достаточно произвести небольшие изменения, чтобы осуществить то или иное элементарное преобразование. Как это именно происходит для разных преобразований можно увидеть, кликнув на ссылку рядом с каждым.

Пример

$100210001 \cdot 30 - 1 2 - 2 0 - 1 12 13 - 3 = 30 - 1 - 2 - 2 0 112 73 - 3 = = 1 + 2 \cdot 0 0 - 1 2 + 2 \cdot (- 2) - 2 0 - 1 + 2 \cdot 1 12 1 + 2 \cdot 3 3 - 3 30 - 1 2 - 2 0 - 1 12 13 - 3 \cdot 1000210000100001 = 30 - 1 8 - 2 - 2 - 1 12 13 - 3 = = 30 - 1 3 \cdot 2 + 2 0 \cdot 2 + - 2 - 1 \cdot 2 + 0 - 1 12 13 - 3$

матрица
Ссылка на оригинал

Треугольная матрица и элементарные преобразования

Треугольная матрица
Def. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы ниже (или выше) главной диагонали нулевые. В первом случае одна называется верхней треугольной, во втором нижней треугольной ( т. e. по наличию ненулевых элементов).

Пример получения треугольной матрицы с помощью элементарных преобразований

Рассмотрим верхнюю треугольную матрицу третьего порядка
$T = 300 2 - 2 0 - 1 12$
Представим, что $T$ была получена из единичной матрицы. Каким изменениям она была подвергнута? Проследим за ними и будем умножать на эту матрицу слева.
$a_{11} : 1 ⟶ 3$ (умножение первой строки на 3 )
$a_{12} : 0 ⟶ - 1$ (прибавление к первой строке второй, умноженной на 2)
$a_{13} : 0 ⟶ - 1$ (вычитание из первой строки третьей)
$a_{22} : 1 ⟶ - 2$ (умножение второй строки на -2 )
$a_{23} : 0 ⟶ 1$ (прибавление ко второй строке третьей)
$a_{33} : 1 ⟶ 2$ (умножение третьей строки на 2 )
Таким образом, умножение любой матрицы слева на матрицу $T$ можно заменить на шесть элементарных преобразований со строками: три преобразования второго типа и три преобразования третьего типа. $300 2 - 2 0 - 1 12 \cdot 1 - 1 - 2 2 - 2 0 324 = 30 - 4 240908$

Теперь элементарными преобразованиями:
$1 - 1 - 2 2 - 2 0 324 \sim (11) 3 - 1 - 2 6 - 2 0 924 \sim (12) 1 - 1 - 2 2 - 2 0 1324 \sim (13) 3 - 1 - 2 2 - 2 0 924 \sim (22) \sim (22) 32 - 2 240 9 - 4 4 \sim (23) 30 - 2 240904 \sim (33) 30 - 4 240908$

матрица
Ссылка на оригинал

По итогам лекции нужно знать:

матрица

etuMath

Проводник

1. Матрицы и действия с ними

Матрицы и действия с ними

Матрица

Виды матриц

Виды матриц

Подматрица

Подматрица

Действия над матрицами

Действия над матрицами

Свойства действий над матрицами

Свойства действий над матрицами

Линейная комбинация

Линейная комбинация матриц

Умножение матриц

Операция умножения матриц

Свойства умножения матриц

Свойства умножения матриц

Транспонирование матриц

Транспонированная матрица

Свойства транспонированной матрицы

Свойства транспонированной матрицы

Правило выражения переменных

Правило выражения переменных в матричном виде

Элементарные преобразования матриц

Элементарные преобразования матриц

Треугольная матрица и элементарные преобразования

Треугольная матрица

По итогам лекции нужно знать:

Вид графа

Оглавление