Свойства умножения матриц

Пусть даны произвольные матрицы $A,B,C$, которые мы будем считать подходящими для умножения, а также число $\alpha$ из поля.

1. $\alpha (AB)=A(\alpha B)=(\alpha A)B$

Дистрибутивность

$A(B+C)=AB+AC$,
$(A+B)C=AC+BC$.

Доказательство

Докажем второе равенство. Пусть $A$ и $B$ имеют размер $m\times n,C$ имеет размер $n\times l$, т.е.
$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ \dots & & & \\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \dots & c_{1l}\\ c_{21}& c_{22}& \dots & c_{2l}\\ \dots & & & \\ c_{n1}& c_{n2}& \dots & c_{nl}\end{array}\right)$

Тогда $D=(A+B)C=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \dots & a_{2n}+b_{2n}\\ \dots & & & \\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& \dots c_{1l}\\ c_{21}& c_{22}& \dots c_{2l}\\ \dots & & \\ c_{n1}& c_{n2}& \dots c_{nl}\end{array}\right)$
При этом $d_{ij}=\left(\begin{array}{llll}{a}_{i1}+b_{i1}& a_{i2}+b_{i2}& \dots & a_{in}+b_{in}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{c}_{1j}\\ c_{2j}\\ \dots \\ c_{nj}\end{array}\right)=$

$$\begin{array}{rl}& \left(a_{i1}+b_{i1}\right)c_{1j}+\dots +\left(a_{in}+b_{in}\right)c_{nj}=\left(a_{i1}{c}_{1j}+\dots +a_{in}{c}_{nj}\right)+\left(b_{i1}{c}_{1j}+\dots +b_{in}{c}_{nj}\right)=\\ & \left(\begin{array}{llll}{a}_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{c}_{1j}\\ c_{2j}\\ \dots \\ c_{nj}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{llll}{b}_{i1}& b_{i2}& \dots & b_{in}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{c}_{1j}\\ c_{2j}\\ \dots \\ c_{nj}\end{array}\right)=AC+BC.\end{array}$$

3. Ассоциативность умножения: $A(BC)=(AB)C$.

4. Единичная матрица $E$ обладает следующим свойством: для любых подходящих матриц $A,B$ выполнено: $AE=A,EB=B$.

   Необходимо учесть, что для прямоугольной матрицы $A_{m\times n}$ матрицы $E$ слева и справа разные: для того, чтобы умножение было возможно, в первом случае это будет $E_{m\times m}$, во втором - $E_{n\times n}$.

5. ${\Theta }_{k\times n}\cdot A_{n\times m}={\Theta }_{k\times m},B_{l\times p}\cdot {\Theta }_{p\times s}={\Theta }_{l\times s}$ для нулевых матриц $\Theta$.

6. Подматрица матрицы $AB$, составленная из строк $i_1,i_2,\dots ,i_p$ и столбцов $j_1,j_2,\dots ,j_s$, представляет собой произведение подматрицы матрицы $A$, составленной из строк $i_1,i_2,\dots ,i_p$, и подматрицы матрицы $B$, составленной из столбцов $j_1,j_2,\dots ,j_s$.

7. Если взять свойства 1-4 сложения матриц и добавить к ним свойства 2,3,4 из данного блока, то мы получим, что множество квадратных матриц одного размера образует кольцо (некоммутативное кольцо с единицей).

матрица