Свойства действий над матрицами

1. Коммутативность по сложению

$$\forall A,B\in M_{m\times n}[K](A+B=B+A)$$

2. Ассоциативность по сложению

$$\forall A,B,C\in M_{m\times n}[K]((A+B)+C=A+(B+C))$$

3. Наличие нейтрального элемента

$$\exists \theta \in M_{m\times n}[K]\forall A\in M_{m\times n}[K](A+\Theta =\Theta +A)$$

4. Обратимость по сложению

$$\forall A\in M_{m\times n}[K]\exists D\in M_{m\times n}[K](A+D=D+A=\Theta )$$

5. $$\forall A,B\in M_{m\times n}[K]\forall \alpha \in K(\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B)$$
6. $$\forall A\in M_{m\times n}[K]\forall \alpha ,\beta \in K((\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A)$$
7. $$\forall A\in M_{m\times n}[K]\forall \alpha ,\beta \in K(\alpha (\beta A)=(\alpha \beta )A)$$
8. $$\forall A\in M_{m\times n}[K](1\cdot A=A)$$

Алгебраическая система

Выполнение свойств 1-4 свидетельствует о том, что множество матриц одного размера образует абелеву группу по сложению.
Выполнение свойств 1-8 свидетельствует о том, что множество матриц одного размера с двумя введёнными операциями образует линейное пространство.

Справедливость данных свойств следует из свойств числового поля, элементы которого образуют матрицы и используются в качестве коэффициентов при умножении, поскольку всё сводится к сложению и умножению элементов поля.

матрица