Треугольная матрица

Def. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы ниже (или выше) главной диагонали нулевые. В первом случае одна называется верхней треугольной, во втором нижней треугольной ( т. e. по наличию ненулевых элементов).

Пример получения треугольной матрицы с помощью элементарных преобразований

Рассмотрим верхнюю треугольную матрицу третьего порядка

$$T=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

Представим, что $T$ была получена из единичной матрицы. Каким изменениям она была подвергнута? Проследим за ними и будем умножать на эту матрицу слева.
$a_{11}:1⟶3$ (умножение первой строки на 3 )
$a_{12}:0⟶-1$ (прибавление к первой строке второй, умноженной на 2)
$a_{13}:0⟶-1$ (вычитание из первой строки третьей)
$a_{22}:1⟶-2$ (умножение второй строки на -2 )
$a_{23}:0⟶1$ (прибавление ко второй строке третьей)
$a_{33}:1⟶2$ (умножение третьей строки на 2 )
Таким образом, умножение любой матрицы слева на матрицу $T$ можно заменить на шесть элементарных преобразований со строками: три преобразования второго типа и три преобразования третьего типа. $\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& -2& 2\\ -2& 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 9\\ 0& 4& 0\\ -4& 0& 8\end{array}\right)$

Теперь элементарными преобразованиями:

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& -2& 2\\ -2& 0& 4\end{array}\right)\stackrel{(11)}{\sim }\left(\begin{array}{ccc}3& 6& 9\\ -1& -2& 2\\ -2& 0& 4\end{array}\right)\stackrel{(12)}{\sim }\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 13\\ -1& -2& 2\\ -2& 0& 4\end{array}\right)\stackrel{(13)}{\sim }\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 9\\ -1& -2& 2\\ -2& 0& 4\end{array}\right)\stackrel{(22)}{\sim }\\ & \stackrel{(22)}{\sim }\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 9\\ 2& 4& -4\\ -2& 0& 4\end{array}\right)\stackrel{(23)}{\sim }\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 9\\ 0& 4& 0\\ -2& 0& 4\end{array}\right)\stackrel{(33)}{\sim }\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 9\\ 0& 4& 0\\ -4& 0& 8\end{array}\right)\end{array}$$

матрица