Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

Алгоритм

Идея: заключается в совершении элементарных преобразований над строками расширенной матрицы:
$\left(\begin{array}{ll}A& E\end{array}\right)\sim \dots \sim \left(E\mid {\mathrm{A}}^{-1}\right)$, т.е. в левой части из матрицы $\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & & & \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$ необходимо получить $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ \dots & & & \\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right)$

Ранг матрицы $\mathrm{rank}A=n$, следовательно, её можно привести к треугольному виду с ненулевыми элементами на главной диагонали: $\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}^{\prime }& a_{12}^{\prime }& \dots & a_{1n}^{\prime }\\ 0& a_{22}^{\prime }& \dots & a_{2n}^{\prime }\\ \dots & & & \\ 0& 0& \dots & a_{nn}^{\prime }\end{array}\right)$
Далее, используя $a_{nn}^{\prime }$, при помощиэлементарных преобразований третьего типа обнуляем все вышестоящие элементы последнего столбца, при помощи $a_{(n-1)(n-1)}^{\prime }$ - предпоследнего и т.д.

В итоге получим невырожденную диагональную матрицу, каждый элемент диагонали которой разделим на самого себя.

Почему полученная справа матрица будет обратной к $A$? Каждое элементарное преобразование эквивалентно умножению на матрицу специального вида слева, т.е. мы получили:

• В левой части: $S_1\cdot S_2\cdot \dots \cdot S_k\cdot A=E$.

• В правой части: $S_1\cdot S_2\cdot \dots \cdot S_k\cdot E=B$.

  T.e. $B=A^{-1}$.

Пример

$$\begin{array}{rl}& A=\left(\begin{array}{ll}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\\ & \\ & \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& 1,5& -0,5\end{array}\right)\end{array}$$

Таким образом, $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1,5& -0,5\end{array}\right)$

матрица