Элементарные преобразования матриц

Def. Элементарными преобразованиями матриц будем называть преобразования одного из следующих типов:

1. Перестановка параллельных рядов (строк или столбцов).

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ \dots & & & \\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\\ \dots & & & \\ a_{k1}& a_{k2}& \dots & a_{kn}\\ \dots & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ \dots & & & \\ a_{k1}& a_{k2}& \dots & a_{kn}\\ \dots & & & \\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\\ \dots & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$

2. Умножение ряда (строки или столбца) на число $\lambda \ne 0$.

$$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \dots & a_{1j}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& \dots & a_{2j}& \dots & a_{2n}\\ a_{31}& \dots & a_{3j}& \dots & a_{3n}\\ \dots & & & & \\ a_{m1}& \dots & a_{mj}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \dots & \lambda a_{1j}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& \dots & \lambda a_{2j}& \dots & a_{2n}\\ a_{31}& \dots & \lambda a_{3j}& \dots & a_{3n}\\ \dots & & & & \\ a_{m1}& \dots & \lambda a_{mj}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$

3. Прибавление к элементам одной строки (столбца) элементов другой строки (или столбца) умноженных на заданный элемент из поля

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ \dots & & & \\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\\ \dots & & & \\ a_{k1}& a_{k2}& \dots & a_{kn}\\ \dots & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ \dots & & & \\ a_{i1}+\lambda a_{k1}& a_{i2}+\lambda a_{k2}& \dots & a_{in}+\lambda a_{kn}\\ \dots & & & \\ a_{k1}& a_{k2}& \dots & a_{kn}\\ \dots & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$

Обратите внимание

Каждое такое преобразование можно представить как умножение на матрицу специального вида. Как известно, умножение на единичную матрицу не меняет исходную. Каждая строка (или столбец) остаётся неизменной, поскольку строка (столбец) матрицы произведения будет составляться из тех же элементов, умноженных на 1, в сумме с другими элементами, умноженными на ноль. Это значит, что в матрице $E$ достаточно произвести небольшие изменения, чтобы осуществить то или иное элементарное преобразование. Как это именно происходит для разных преобразований можно увидеть, кликнув на ссылку рядом с каждым.

Пример

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{lll}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cccc}3& 2& -1& 1\\ 0& -2& 1& 3\\ -1& 0& 2& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}3& -2& 1& 7\\ 0& -2& 1& 3\\ -1& 0& 2& -3\end{array}\right)=\\ & =\left(\begin{array}{cccc}1+2\cdot 0& 2+2\cdot (-2)& -1+2\cdot 1& 1+2\cdot 3\\ 0& -2& 1& 3\\ -1& 0& 2& -3\end{array}\right)\\ & \left(\begin{array}{cccc}3& 2& -1& 1\\ 0& -2& 1& 3\\ -1& 0& 2& -3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}3& 8& -1& 1\\ 0& -2& 1& 3\\ -1& -2& 2& -3\end{array}\right)=\\ & =\left(\begin{array}{cccc}3& 3\cdot 2+2& -1& 1\\ 0& 0\cdot 2+-2& 1& 3\\ -1& -1\cdot 2+0& 2& -3\end{array}\right)\end{array}$$

матрица