Теорема. Определитель матричных блоков

Теорема

Рассмотрим квадратную матрицу порядка $n$, разбитую на четыре блока, два из которых, расположенные вдоль главной диагонали, квадратные размеров $r$ и $n-r$, а правый верхний нулевой, т.е.

$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_r& \theta \\ A_3& A_{n-r}\end{array}\right)$$

Теорема:

$$\det A=\det A_r\cdot A_{n-r}$$

Доказательство

Распишем матрицу $A$ более подробно:

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \dots & a_{1r}& 0& \dots & 0\\ \dots & & & & & \\ a_{r1}& \dots & a_{rr}& 0& \dots & 0\\ a_{(r+1)1}& \dots & a_{(r+1)r}& a_{(r+1)(r+1)}& \dots & a_{(r+1)n}\\ \dots & & & & & \\ a_{n1}& \dots & a_{nr}& a_{n(r+1)}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)\\ & \\ & \det A=\sum a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{r{j}_r}\cdot \dots \cdot a_{(r+1)j_{r+1}}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^{inv\left(j_1,\dots ,j_r,j_{r+1},\dots ,j_n\right)}\end{array}$$

В данных произведениях первые $r$ множителей взяты из $A_r$, последние $n-r$ взяты из $A_{n-r}$. Произведения, содержащие элементы из $A_3$, обязательно содержат 0 из блока $\theta$ ( поясните почему), поэтому их можно не учитывать.

Количество инверсий для всего произведения равно сумме инверсий из $A_r$ и $A_{n-r}$, поскольку между номерами столбцов $A_r$ и столбцов $A_{n-r}$ инверсий нет.

Оба условия соблюдены, получаем требуемое.

Доказательство также можно провести, используя элементарные преобразования первого и третьего типов, при помощи которых матрица А будет приведена к треугольному виду. Тогда её определитель будет представлен произведением диагональных элементов, которое можно разделить на две части. Преобразования третьего типа не меняют значение определителя, поэтому единственное, что необходимо учесть, это совпадение количества смен знака определителя $A$ и определителей $A_r$ и $A_{n-r}$, возникающих при перестановке строк или столбцов.

матрица