Связь ранга матрицы с элементарными преобразованиями

Перестановка параллельных рядов исходной матрицы $A$ или умножение ряда на ненулевой коэффициент способны поменять знак базисного минора $M_{r}$ или сообщить ему тот же множитель, что не меняет максимальный порядок отличных от нуля миноров, т.е. ранг матрицы.

Элементарное преобразование третьего типа необходимо рассмотреть отдельно.
Если данное преобразование не касалось строк или столбцов базисного минора, он по-прежнему остаётся неравным нулю.
Рассмотрим преобразование со строкой (столбцом), входящим в базисный минор.

Рассмотрим три разных минора:

Базисный минор $M_{r} = A_{1} A_{2} \dots A_{t} \dots A_{r}$ , где $A_{1}, \dots, A_{t}, \dots, A_{r}, \dots, A_{k}, \dots, A_{n}$ - столбцы матрицы $A$ .
Допустим, к $t$ -му столбцу, входящему в базисный минор, прибавили $k$ -й с коэффициентом $λ$ . Тогда базисный минор $M_{r}$ принимает вид:
$M_{r}^{'} = A_{1} A_{2} \dots A_{t} + λ A_{k} \dots A_{r}$
По теореме о ранге произведения матриц , $A_{k} = α_{1} A_{1} + \dots + α_{r} A_{r}$ для базисных столбцов $A_{1}, \dots, A_{r}$
В-третьих, минор $M_{r}^{k} = A_{1} A_{2} \dots A_{k} \dots A_{r}$ (заменили $t$ -й столбец на $k$ -й)
Пo свойству 6 определителей:
$M_{r}^{k} = A_{1} A_{2} \dots A_{k} \dots A_{r} = A_{1} A_{2} \dots (α_{1} A_{1} + \dots + α_{r} A_{r}) \dots A_{r} =$
$α_{t} M_{r} + 0 + \dots + 0$ ,

Поскольку все остальные миноры содержат одинаковые столбцы (из разложения $A_{k}$ )
Следовательно (опять же по свойству 6 определителей)
$M_{r}^{'} = M_{r} + λ α_{t} M_{r} = (1 + λ α_{t}) M_{r}$
Если $1 + λ α_{t} \neq = 0$ , то базисный минор (превратившись из $M_{r}$ в $M_{r}^{'}$ ) после преобразования третьего типа остался ненулевым.

Если же $1 + λ α_{t} = 0$ , то $α_{t} \neq = 0$ , и у нас всё равно остаётся ненулевой минор порядка $r$ - это $M_{r}^{k}$
Получаем, что ранг не уменьшился.
Если к одному столбцу прибавить другой столбец, умноженный на число, то все столбцы по-прежнему останутся линейными комбинациями базисных столбцов, следовательно, ранг не может и увеличиться.

Таким образом, ранг не изменился, и была доказана теорема о ранге произведения матриц: элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

Пример

$rank - 1 4 - 3 - 2 3 - 7 53 3 - 2 10 - 4 101 = rank - 1 000 35 - 4 - 3 310 - 8 - 6 - 4 - 15 129 = rank - 1 0 θ θ 35 - 4 - 3 3108 - 6 - 4 - 15 129$

$= rank - 1 000 350031000 - 4 - 15 00 = rank (- 1 0 35310 - 4 - 15) = 2$

Данный пример иллюстрирует тот факт, что при помощи элементарных преобразований матрица может быть приведена к трапецеидальному (ступенчатому) виду (частный случай - треугольный). Нижнее основание трапеции может идти по нижней строке, а также быть выше, как в рассмотренном примере.

Поскольку при элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется, в ступенчатой матрице достаточно посчитать количество ненулевых строк.

матрица

etuMath

Проводник

Связь ранга матрицы с элементарными преобразованиями

Вид графа

Обратные ссылки