Правило выражения переменных в матричном виде

У матриц и систем линейных уравнений есть связь.
Пусть даны переменные $y_1,y_2,\dots ,y_m$, которые выражаются через переменные $x_1,x_2,\dots ,x_n$ :

$$\{\begin{array}{l}{y}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n\\ y_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n\\ \dots \\ y_m=a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n\end{array}$$

Или в матричной форме:

$$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ \dots \\ y_m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \dots \\ x_n\end{array}\right)\text{, т.е. }Y=A\cdot X$$

И пусть переменные $x_1,\dots ,x_n$ в свою очередь выражаются через переменные $t_1,t_2,\dots ,t_s$ :

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=b_{11}{t}_1+b_{12}{t}_2+\dots +b_{1n}{t}_s\\ x_2=b_{21}{t}_1+b_{22}{t}_2+\dots +b_{2n}{t}_s\\ \dots \\ x_m=b_{m1}{t}_1+b_{m2}{t}_2+\dots +b_{mn}{t}_s\end{array}$$

В матричном виде:

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \dots \\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots b_{1s}\\ b_{21}& b_{22}& \dots b_{2s}\\ \dots & & \\ b_{m1}& b_{m2}& \dots b_{ms}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{t}_1\\ t_2\\ \dots \\ t_s\end{array}\right)\text{, т.e. }X=B\cdot T$$

Подставим выражение столбца $X$ в первое равенство и получим:
$Y=A\cdot B\cdot T=(AB)T$,
что даёт нам правило выражения первых переменных через последние.

матрица