Теорема. Единственность представления через векторы

Теорема

Если векторы $a_1,a_2,\dots ,a_n$ линейно независимы и $x={\alpha }_1{a}_1+\dots +{\alpha }_n{a}_n$, то это представление единственно.

Доказательство

Предположим противное, то есть возможны два представления:
${\alpha }_1{a}_1+\dots +{\alpha }_n{a}_n=x$
и
${\beta }_1{a}_1+\dots +{\beta }_n{a}_n=x$.
Вычтем из одного представления другое, получим:
$\left({\alpha }_1-{\beta }_1\right)a_1+\dots +\left({\alpha }_n-{\beta }_n\right)a_n=\theta$.
Поскольку векторы $a_1,a_2,\dots ,a_n$ линейно независимы, то коэффициенты данной линейной комбинации равны нулю, т.е. ${\alpha }_1={\beta }_1,\dots ,{\alpha }_n={\beta }_n$, а, значит, представление единственно.

линейноепространство