Кривые второго порядка

Def. Кривая второго порядка задаётся уравнением вида $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$.
Это уравнение есть сумма квадратичной и линейной частей:
$\left(A{x}^2+Bxy+C{y}^2\right)+(Dx+Ey+F)=0$
Квадратичную часть можно привести к каноническому виду различными способами. Если это возможно, лучше пользоваться методом ортогонального преобразования, так как Ортогональный оператор сохраняет Скалярное произведение, а, значит, длины векторов (т.е. расстояния между точками) и углы между векторами. Коэффициентами ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ при квадратах будут собственные числа матрицы квадратичной формы.

Матрица перехода к новому базис в таком случае и будет матрицей ортогонального преобразования. С её помощью можно задать способ перехода к новому базису и новым координатам. Если Определитель этой матрицы равен 1, то, как известно, такое преобразование есть поворот плоскости вокруг начала координат.

Уравнение в новых координатах не будет содержать слагаемого вида $Bxy$ и примет вид

$${\lambda }_1(x-x_0{)}^2+{\lambda }_2(y-y_0{)}^2=s,$$

где ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ — собственные значения соответствующей симметричной матрицы, а $(x_0,y_0)$ — сдвиг координат. В зависимости от знаков ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ получаем три типа:

Три вида кривых второго порядка

1. ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2>0$ уравнение эллиптического типа $${\lambda }_1(x-x_0{)}^2+{\lambda }_2(y-y_0{)}^2=s⟹\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=s.$$
   • Если $s=1$, получаем эллипс $\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=1$.
   • Если $s=0$, точка.
   • Если $s=-1$, пустое множество точек (т.н. мнимый эллипс).
2. ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2<0$ уравнение гиперболического типа. $${\lambda }_1(x-x_0{)}^2+{\lambda }_2(y-y_0{)}^2=s⟹\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}-\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=s.$$
   • При $s=\pm 1$ — гипербола $\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}-\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=\pm 1$. Знак определяет положение ветвей вдоль одной из осей.
   • Если $s=0$, пара пересекающихся прямых (вырожденный случай).
3. ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2=0$ уравнение параболического типа $${\lambda }_1(x-x_0{)}^2+{\lambda }_2(y-y_0{)}^2=s$$
   • $y^2=2px$ — парабола.
   • $y^2=2p^2$ — две параллельные прямые.
   • $y^2=0$ — одна прямая.
   • $y^2=-2p^2$ — пустое множество точек.

билинейнаяиквадратичнаяформы